[MPSI] Continuité d'une dérivée 1ère sur [a,b]

[Hyp]

Bonsoir :happy2:

Est il nécessairement vrai que la dérivée 1ère d'une fonction dérivable sur un segment [a,b] de IR soit continue ?

Cela me parait assez important si jamais le résultat est vérifié, car il suffirait qu'une fonction soit dérivable sur un fermé borné de IR pour qu'elle soit de classe C1.

Or en prenant le contre exemple classique de x² sin (1/x) si <>0, 0 si 0), on remarque que la dériviée de cette fonction n'est pas continue en 0 (mais je ne sais pas si un prolongement par continuité pourrait être considéré comme une définition sur un fermé borné).
D'un autre côté, il m'est demandé de démontrer que si f dérivable sur [a,b] de IR, alors si f'(a).f'(b) < 0 alors il existe c de ]a,b[ tel que f'(c)=0.

C'est une application directe du Théorème des valeurs intermédiares, qui n'est d'ailleurs valable que si ladite fonction est continue sur un tel intervalle, d'où toute ma confusion.

[legeniedesalpages]

Bonsoir :happy2:

Est il nécessairement vrai que la dérivée 1ère d'une fonction dérivable sur un segment [a,b] de IR soit continue ?

Cela me parait assez important si jamais le résultat est vérifié, car il suffirait qu'une fonction soit dérivable sur un fermé borné de IR pour qu'elle soit de classe C1.

Or en prenant le contre exemple classique de x² sin (1/x) si 0, 0 si 0), on remarque que la dériviée de cette fonction n'est pas continue en 0 (mais je ne sais pas si un prolongement par continuité pourrait être considéré comme une définition sur un fermé borné).
D'un autre côté, il m'est demandé de démontrer que si f dérivable sur [a,b] de IR, alors si f'(a).f'(b) < 0 alors il existe c de ]a,b[ tel que f'(c)=0.

C'est une application directe du Théorème des valeurs intermédiares, qui n'est d'ailleurs valable que si ladite fonction est continue sur un tel intervalle, d'où toute ma confusion.

Salut,

Ta question n'est pas clair mais ce qu'on te demande de montrer (le théorème de Bolzano, je crois que ça s'appelle) est en fait équivalent au théorème des valeurs intermédiaires (pour les fonctions continues), il me semble pas que c'est équivalent au théorème de Darboux (le TVI version pour les fonctions dérivées).

[Hyp]

Voici ce que j'ai trouvé:

f étant continue sur [a;b] est bornée, et atteint ses bornes.

Et donc f admet un minimum sur [a;b] (je ne suis pas sûr du choix de l'intervalle) On notera m= inf f(x), x dans [a;b]

1er cas: f'(a)<0 , f'(b)>0:

Dans ce cas, m diffère de a car sinon f(x)-f(a) / (x-a) >=0 et en passant à la limite en a, f'(a) > 0, ce qui est absurde

2ème cas: f'(a)>0 , f'(b)<0:

Par analogie, on peut montrer que m diffère de b.

d'où m est nécessairement dans ]a;b[ et en tout point x de cet intervalle, f'(x)=0.

Quelqu'un peut me confirmer s'il vous plait ?

[legeniedesalpages]

Voici ce que j'ai trouvé:

f étant continue sur [a;b] est bornée, et atteint ses bornes.

Et donc f admet un minimum sur [a;b] (je ne suis pas sûr du choix de l'intervalle) On notera m= inf f(x), x dans [a;b]

1er cas: f'(a)0:

Dans ce cas, m diffère de a car sinon f(x)-f(a) / (x-a) >=0 et en passant à la limite en a, f'(a) > 0, ce qui est absurde

2ème cas: f'(a)>0 , f'(b)<0:

Par analogie, on peut montrer que m diffère de b.

d'où m est nécessairement dans ]a;b[ et en tout point x de cet intervalle, f'(x)=0.

Quelqu'un peut me confirmer s'il vous plait ?

et pourquoi dans le premier cas, on aurait pas m=b par exemple ?

[Hyp]

m diffère de b car dans ce cas : x-b <= 0 ET f(x)-f(b) >=0 d'où le quotient est négatif, ce qui est tout aussi contradictoire en passant à la limite en b.

(Si tu insinuais qu'il fallait le préciser, tu as bien raison :p)

Et finalement, il était assez prévisible que la dérivée d'une fonction dérivable sur un fermé [a;b] n'est pas forcément continue. Ce qu'il fallait réaliser est que toute fonction continue vérifie le TVI, mais ça ne nie pas forcément qu'une fonction pourrait vérifier le TVI sans pour autant être continue !

Il est très intriguant ce théorème Oo (de Darboux, en effet).

[legeniedesalpages]

[quote="Hyp"]démontrer que si f dérivable sur [a,b] de IR, alors si f'(a).f'(b) 0.

On sait donc que f est strictement décroissante sur un intervalle [a,m[ et strictement croissante sur un intervalle ]m',b] et .

f est bornée sur l'intervalle fermé borné [m,m'] (et dérivable) et atteint des bornes Inf et Sup, on peut prendre alors .

Sauf erreur.

[Hyp]

Je dirais sup [m,m'] non?

(Sachant que sup [a,b]=b , on voit bien qu'il s'agit d'une erreur d'inattention :p)

[legeniedesalpages]

m diffère de b car dans ce cas : x-b =0 d'où le quotient est négatif, ce qui est tout aussi contradictoire en passant à la limite en b.

(Si tu insinuais qu'il fallait le préciser, tu as bien raison :p)

Et finalement, il était assez prévisible que la dérivée d'une fonction dérivable sur un fermé [a;b] n'est pas forcément continue. Ce qu'il fallait réaliser est que toute fonction continue vérifie le TVI, mais ça ne nie pas forcément qu'une fonction pourrait vérifier le TVI sans pour autant être continue !

Il est très intriguant ce théorème Oo (de Darboux, en effet).

ok oui c'est plus clair, oui et le théorème de Darboux d'ailleurs n'admet aps de réciproque: http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/phorum/read.php?f=2&i=207742&t=207732 .

[legeniedesalpages]

Je dirais sup [m,m'] non?

(Sachant que sup [a,b]=b , on voit bien qu'il s'agit d'une erreur d'inattention :p)

oui une grosse erreur. :briques:

Je corrige: il existe c dans [m,m'] tel que f(c)=Sup et donc f'(c)=0.

[Hyp]

Astucieuse ta méthode :o

Et merci pour les précisions :++:

[legeniedesalpages]

oui il y a quelque chose que je n'ai pas précisé et que j'aurai du:

m pris différent de a et m' différent de b, la dérivée nous dit en effet que f est strictement décroissante au voisinage de a, et que f est strictement croissante au voisinage de b, ce qui définit bien m et m'.