[mpsi] Continuité

[Anonyme]

Bonjour,

voici l'exo qui me pose problème.

Soit f une fonction d'un ouvert I dans R vérifiant pour tout (x,y) dans
I^2, f((x+y)/2) =< (f(x) + f(y))/2.

On suppose que f est bornée sur un segment [a,b] de I. J'ai alors pu
montrer que f était bornée sur tout segment de I. On me demande
maintenant d'en déduire que f est continue sur I... et je n'y arrive pas.
La question d'avant semble inviter à utliser une suite convergente
d'images de I par f, mais je ne vois pas comment conclure.

Merci de votre aide


--
albert

[Anonyme]

>
> Soit f une fonction d'un ouvert I dans R vérifiant pour tout (x,y) dans
> I^2, f((x+y)/2) =
> On suppose que f est bornée sur un segment [a,b] de I. J'ai alors pu
> montrer que f était bornée sur tout segment de I. On me demande maintenant
> d'en déduire que f est continue sur I... et je n'y arrive pas.
> La question d'avant semble inviter à utliser une suite convergente
> d'images de I par f, mais je ne vois pas comment conclure.
>
Bonjour et bonne année.

Si f est bornée sur un intervalle. Tu peux, pour un x0 de cet intervalle, et
pour un certain h et un certain A écrire :
f([x0-h, x0+h]) est inclus dans [f(x0)-A, f(x0)+A])

En prenant un x dans [x0-h/2, x0+h/2], et en tenant compte de l'inclusion
précédente et de la propriété de f, que peux-tu déduire de f(x) par rapport
à f(x0).
En déduire que f([x0-h/2, x0+h/2]) est inclus dans [f(x0)-?, f(x0)+?])

Et donc ...

Patrick

[Anonyme]

Bonjour,

Bon, voici une facon de faire :
-- occupons nous de la continuite en x et
raisonnons par l'absurde.
-- soit epsilon>0 et soit (x_n) qui tend vers x
avec |f(x_n)-f(x)| >= epsilon.
-- en considerant x'_n=2x-x_n, montrer que l'on
peut supposer f(x_n) >= f(x) + epsilon.
-- montrer que l'on peut supposer que f(x_n) tend
vers une limite l.
-- en considerant z_n = 2 x_n - x, montrer que l'on
peut remplacer l par l + epsilon.
-- en conclure que f ne serait pas borne.
Voila, pour les etrennes
Ah oui, une lecture interessante sur le sujet :
http://www.iro.umontreal.ca/~marcotte/Ift6511/MidConvexe.pdf

JQCA,
Amities,
Olivier

[Anonyme]

Patrick Coilland a écrit:

> Bonjour et bonne année.
>
> Si f est bornée sur un intervalle. Tu peux, pour un x0 de cet
> intervalle, et pour un certain h et un certain A écrire :
> f([x0-h, x0+h]) est inclus dans [f(x0)-A, f(x0)+A])
>
> En prenant un x dans [x0-h/2, x0+h/2], et en tenant compte de
> l'inclusion précédente et de la propriété de f, que peux-tu déduire de
> f(x) par rapport à f(x0).
> En déduire que f([x0-h/2, x0+h/2]) est inclus dans [f(x0)-?, f(x0)+?])
>
> Et donc ...

Ok !

Merci beaucoup à toi et à Olivier pour vos réponses.

J'en profite pour souhaiter à mon tour une bonne année à tous les
contributeurs et lecteurs de ce newsgroup.


--
albert