Continuite

[pikacu]

bonsoir,
en fait j'ai une question.. comme est-ce que peut montrer qu'une fonction est continue??
on fait la limite sur moins infini et plus infini?? c'est ça?
merci d'avance

[Zebulon]

Bonsoir,
une fonction est continue sur D ssi elle est continue en tout point de D.
Pour montrer qu'une fonction est continue, on utilise les théorèmes sur les somme, produit, composée de fonctions qu'on saît continues. Ca permet en général de montrer la conituité "presque partout". Ensuite, si vous ne connaisez pas encore les équivalents, on montre "à la main" la continuité là où on ne l'a pas fait à l'aide des théorèmes.
Par exemple, soit f définies sur par
Pour montrer la continuité de f sur ,
elle est continue sur car c'est une fraction rationnelle dont le dénominateur s'annule uniquement en 1.
Il suffit donc montrer sa continuité en 1.

[pikacu]

merci beaucoup,
en fait j'avais oublie la continuité.
mon exercice est plus facile... j'ai f(x)={0 si x appartient à Q, et x si x n'appartient pas a Q

Donc X est continue en R\{0}
et j'ai aussi que ma fonction est continue en point 0 aussi...
c'est ca, non??? :hum:

[pikacu]

est- ce que vous pouvez me donner une reponse si c'est juste ou pas? s'il vous plait..

[Zebulon]

Elle n'est pas continue sur . Tellement pas continue qu'elle n'est continue en aucun point différent de 0.

[pikacu]

pouvez vous etre plus clair?? j'ai pas compris

alors ma fonction est continue en 0 uniquement?? mais comment montrer ca?

[pikacu]

Quelqu'un peut m'aider??
merci

[Zebulon]

Par exemple en 1 :
f n'est pas continue en 1 ssi
, alors on sait qu'il existe et alors et ce qui prouve que f n'est pas continue en 1.

[pikacu]

merci beaucoup... :we:

[Zebulon]

De rien ! :we:
Sauriez-vous montrer que f n'est continue nulle part ailleurs qu'en 0 ?

[pikacu]

on le montre avec le definition du limite en 0 , enfin je crois que c'est ça.. mais je sais pas si c'est juste :triste:

[Zebulon]

OK pour montrer que f est continue en 0, mais comment montrer que f n'est pas continue en si ?

[pikacu]

ça je le sais pas, pouviez vous me donner quelques indications s'il vous plait??

[BQss]

Bonsoir,
une fonction est continue sur D ssi elle est continue en tout point de D.
Pour montrer qu'une fonction est continue, on utilise les théorèmes sur les somme, produit, composée de fonctions qu'on saît continues. Ca permet en général de montrer la conituité "presque partout". Ensuite, si vous ne connaisez pas encore les équivalents, on montre "à la main" la continuité là où on ne l'a pas fait à l'aide des théorèmes.
Par exemple, soit f définies sur par
Pour montrer la continuité de f sur ,
elle est continue sur car c'est une fraction rationnelle dont le dénominateur s'annule uniquement en 1.
Il suffit donc montrer sa continuité en 1.

Zebulon ta fonction n'est pas continue en 1, elle y est seuleument definie.
f definie par sin(x-1)/x-1, sur R privé de1 et f(1)=1 elle par contre, est continue...
Pour prolonger une fonction par continuité, il faut quand meme que la fonction est une limite fini, et ta fonction tend vers + et moins l'infini de part et d'autre du point ou elle n'est pas definie, ca sera difficile de montrer qu'elle est continue meme si tu lui donnes une valeur fini en ce point...

[pikacu]

la je comprends plus, :cry:

[Zebulon]

Soit ,
prenons ,
soit ,
si (ie est irrationnel), on sait qu'il existe tel que et alors on a et ;
si , c'est comme tout à l'heure quand on avait .

[pikacu]

merci,merci merci... mille fois :we:

[Zebulon]

Zebulon ta fonction n'est pas continue en 1, elle y est seuleument definie.
f definie par sin(x-1)/x-1, sur R privé de1 et f(1)=1 elle par contre, est continue...
Pour prolonger une fonction par continuité, il faut quand meme que la fonction est une limite fini, et ta fonction tend vers + et moins l'infini de part et d'autre du point ou elle n'est pas definie, ca sera difficile de montrer qu'elle est continue meme si tu lui donnes une valeur fini en ce point...

Oups oui, j'ai fait une erreur. Merci de l'avoir signalée. Enfin l'important était de comprendre la méthode.

[BQss]

Et aussi
une definition equivalente c'est f continue si sa limite existe et ssi:
limf(x) x -->x0 =f(x0) ou encore ssi quelquesoit xn qui tend vers x0, f(xn) tend vers f(x0)

Donc il suffit de trouver une suite de point dont l'image ne tend pas vers la valeur de l'image de la limite.

mais on voit bien que pour une suite de rationnel elle est constante et vaut 0 ce qui est different de l'image de sa limite si x0 n'est pas un rationnel qui vaut f(x0)=x0 different de 0(comme Q est dense dans R une tel suite existe), pareille pour un rationnel on prend un suite de non rationnel donc f(xn)=x qui tend vers x0(un tel suite existe car tout voisinage d'un rationnel intercepte un irrationnel) et ca ne tend pas vers 0=f(p/q) .

Au final il n'y y a qu'en 0 ou quelqu soit la maniere de s'en aprocher la limite vaut 0=f(0). Toute suite de nombre tendant vers0 à f(xn) qui tend vers 0, c'est evident que tout nombre rationnel repond a ce critere et comme les terme de la suite irationnel tende aussi vers 0 il suffit de prendre le n0 de la suite extraite des irationnels pour n'importe quel suite et on a bien un n0 pour tout voisnage de 0 a partir du quel on est dans ce voisinage 0...