Continuité sans lever le crayon

[Pseuda]

Bonjour,

Je me demande pourquoi la définition mathématique de la continuité d'une fonction réelle (en un point : limite de f(x) en a = f(a), puis sur un intervalle si elle est continue en tout point de l'intervalle) ne coïncide pas avec l'idée que l'on s'en fait, qui est de pouvoir la tracer "sans lever le crayon".

Par exemple, la fonction f(x) = x* sin(1/x) et f(0)=0 est continue en 0 au sens mathématique du terme (par le théorème des gendarmes), mais on serait bien incapable de la tracer autour de 0 (par exemple d'aller de -1 en 1) sans lever le crayon.

Je vois à cela plusieurs possibilités :

- on n'est pas capable de donner une définition mathématique correspondant à "sans lever le crayon" (cela ne serait pas non plus le TVI car la fonction donnée plus haut vérifie aussi ce théorème).

- on en est capable, mais la définition serait trop compliquée dans une 1ère approche, et on réserverait la définition de "sans lever le crayon" à un autre type de continuité étudiée plus tard quand on aborde des mathématiques plus approfondies.

- la définition mathématique de la continuité est considérée comme satisfaisante (mais elle semble cependant poser des problèmes, par exemple une fonction dérivable n'est pas forcément de dérivée continue, alors qu'avec "sans lever le crayon" intuitivement elle le serait).

- rien de tout cela, ou une autre raison : par exemple "sans lever le crayon" correspondrait davantage à une fonction de type : continue, dérivable et de dérivée continue à droite et à gauche en tout point, et on veut faire la distinction avec une simple fonction continue.

Je ne sais pas si tout cela bien clair. Je me pose cette question depuis longtemps. Merci d'avance pour vos réponses.

[nodgim]

Je n'ai pas tout lu, mais en remplaçant x*sin(1/x) quand x tend vers 0, par sinx/x quand x tend vers l'infini, on voit à peu près la forme de cette sinusoïde amortie.

[Pseuda]

Cela fait une sinusoïde amortie en effet. Mais si on met le crayon en (0,0), on serait bien incapable de partir vers la droite (ou vers la gauche) pour commencer à dessiner la courbe.

J'ai été longue je sais, pour mettre toutes mes idées.

[Ben314]

Salut,
Il y a effectivement des tonnes de notions en mathématique pour traduire une "certaine régularité" de la fonction : la continuité (éventuellement uniforme), le fait d'être lipschitzienne, le fait d'être non seulement continue, mais aussi d'être C^1 par morceaux, etc, etc.
Ensuite, à mon sens, l'objection majeure à ne pas prendre "sans lever le stylo" comme définition, c'est bien évidement que textuellement, ça ne signifie absolument rien donc c'est sans le moindre intérêt mathématique (imagine par exemple qu'on te demande de montrer que la somme de deux fonction continue est elle même continue avec "sans lever le stylo" comme définition : tu écrit quoi ?)

De plus, à mon sens, cette définition de "sans lever le stylo", si on doit la rapprocher de quelque chose de mathématique, c'est pas de la notion de continuité des fonctions de R dans R : le premier truc qu'on (essaye) d'apprendre aux gamins, c'est que le graphe d'une fonction f, c'est pas n'importe quoi : à chaque x doit correspondre un unique y (ou "au plus un y si on accepte" de prendre des x qui sont pas dans Df) donc le graphe ne doit pas contenir de "retours en arrière" ni de "segments verticaux" alors que "sans lever le stylo", ben tu peut parfaitement faire des verticales ou des "retours en arrière". Donc la notion de "sans lever le stylo" ça serait nettement plus proche de la notion de continuité pour les arcs paramétrés, c'est à dire les fonctions de R->R^2 que pour les fonctions de R->R. Et à mon sens, dans ce cas là, j'aurais tendance à penser que le "sans lever le stylo", ça se traduirait plutôt par un truc du style "continue et C^1 par morceaux" qui est effectivement le truc "standard" qu'on demande à une courbe paramétrée pour pouvoir l'étudier plus ou moins sereinement, en particulier du fait que cette condition implique que l'on peut exprimer facilement la longueur de la courbe entre deux points (si on a que la continuité, la longueur entre deux points peut être infini et ça colle pas trop avec l'idée que je me fait de "tracer la courbe avec un stylo")

Sinon, si tu regarde l'histoire des mathématiques, il y a effectivement eu beaucoup d'hésitations concernant la "meilleure" définition de la notion de continuité (par exemple à je sais plus quelle époque, à l'école normale, je sais plus qui prenait comme définition "continue" = "vérifie le th. des valeurs intermédiaires").
Sauf que ça, c'est du passé : la notion de continuité a depuis été généralisée pour s'appliquer aux cas de fonctions de R^n dans R^m, puis plus généralement entre espaces vectoriels normés, puis plus généralement entre espace métriques puis enfin entre espaces topologique ce qui a enfin permis "d'englober" toutes les notions de "proche" que l'on utilisait en math, y compris celle de "proche" pour la convergence simple des fonctions (rappel : la topologie de la convergence simple dans l'ensemble des fonction n'est pas métrisable).
Et là, dans le cadre "topologie générale", si on regarde comment s'exprime la notion de continuité (i.e. la généralisation la plus aboutie du "pour tout epsilon>0 ..." du Lycéen) on se rend compte qu'on peut difficilement faire plus simple : une fonction est continue ssi l'image réciproque de tout ouvert est ouvert.
Et à mon avis, c'est ce constat là (i.e. que la notion de continuité se généralise super archi bien en un truc super archi évident) qui a fait qu'il n'y a plus eu aucune discutions concernant le fait de savoir si c'était "la bonne" définition ou pas pour les fonctions de R->R.

[pascal16]

la définition mathématique de la continuité est considérée comme satisfaisante (mais elle semble cependant poser des problèmes, par exemple une fonction dérivable n'est pas forcément de dérivée continue, alors qu'avec "sans lever le crayon" intuitivement elle le serait).

Non, pour |x| par exemple, et tout fonction affine par morceau.

La notion 'sans lever le crayon' englobe aussi les fonctions paramétriques (c'est pour moi même la vraie signification du tracé d'une fonction à la main, on trace des maisons sans lever le crayon depuis le primaire).

[Kolis]

Bonsoir !
Je crois que @pseuda parlait de "fonction dérivable", ce qui n'est pas le cas de "valeur absolue".

Mais déclarer "sans lever le crayon, intuitivement elle le serait", n'a aucune valeur mathématique !

[Lostounet]

Par exemple, la fonction f(x) = x* sin(1/x) et f(0)=0 est continue en 0 au sens mathématique du terme (par le théorème des gendarmes), mais on serait bien incapable de la tracer autour de 0 (par exemple d'aller de -1 en 1) sans lever le crayon.

Sans oublier (mais je viens de voir que tu en parles mais pour faire le lien avec la théorie de la mesure et la dérivation presque partout) les raffinements possibles de la notion de continuité plus subtils, comme par exemple la continuité absolue (la fonction que tu proposes ne l'est pas près de 0) pour qu'une fonction ne puisse pas faire de la merde.

[Pseuda]

Merci beaucoup pour ta réponse Ben314, je comprends beaucoup mieux.

Salut,
Il y a effectivement des tonnes de notions en mathématique pour traduire une "certaine régularité" de la fonction : la continuité (éventuellement uniforme), le fait d'être lipschitzienne, le fait d'être non seulement continue, mais aussi d'être C^1 par morceaux, etc, etc.

En effet, je me demandais si une de ces notions rendait compte de "sans lever le crayon" ou "le stylo" peu importe. Lostounet parle de la continuité absolue, la fonction x*sin(1/x) ne le serait pas, mais c'est peut-être un cas particulier.

Ensuite, à mon sens, l'objection majeure à ne pas prendre "sans lever le stylo" comme définition, c'est bien évidement que textuellement, ça ne signifie absolument rien donc c'est sans le moindre intérêt mathématique (imagine par exemple qu'on te demande de montrer que la somme de deux fonction continue est elle même continue avec "sans lever le stylo" comme définition : tu écrit quoi ?)

En effet c'est là l'écueuil. La démonstration de la somme de 2 fonctions continues me convainc (comment faire avec le TVI ?). Et aussi avec le TVI (ou quelque chose du même genre plus satisfaisant), comment faire pour parler de la continuité en un point ?

De plus, à mon sens, cette définition de "sans lever le stylo", si on doit la rapprocher de quelque chose de mathématique, c'est pas de la notion de continuité des fonctions de R dans R : le premier truc qu'on (essaye) d'apprendre aux gamins, c'est que le graphe d'une fonction f, c'est pas n'importe quoi : à chaque x doit correspondre un unique y (ou "au plus un y si on accepte" de prendre des x qui sont pas dans Df) donc le graphe ne doit pas contenir de "retours en arrière" ni de "segments verticaux" alors que "sans lever le stylo", ben tu peut parfaitement faire des verticales ou des "retours en arrière". Donc la notion de "sans lever le stylo" ça serait nettement plus proche de la notion de continuité pour les arcs paramétrés, c'est à dire les fonctions de R->R^2 que pour les fonctions de R->R. Et à mon sens, dans ce cas là, j'aurais tendance à penser que le "sans lever le stylo", ça se traduirait plutôt par un truc du style "continue et C^1 par morceaux" qui est effectivement le truc "standard" qu'on demande à une courbe paramétrée pour pouvoir l'étudier plus ou moins sereinement, en particulier du fait que cette condition implique que l'on peut exprimer facilement la longueur de la courbe entre deux points (si on a que la continuité, la longueur entre deux points peut être infini et ça colle pas trop avec l'idée que je me fait de "tracer la courbe avec un stylo")

Ici on pourrait imaginer un "sans lever le crayon" pour une fonction réelle en allant de gauche à droite (entre a et b, a<b), cela ne me parait pas une objection. Mais c'est vrai qu'il faut penser à la mesure quand on définit la continuité, on peut difficilemment imaginer mesurer la longueur de la courbe x*sin(1/x) autour de 0.

Sinon, si tu regarde l'histoire des mathématiques, il y a effectivement eu beaucoup d'hésitations concernant la "meilleure" définition de la notion de continuité (par exemple à je sais plus quelle époque, à l'école normale, je sais plus qui prenait comme définition "continue" = "vérifie le th. des valeurs intermédiaires").
Sauf que ça, c'est du passé : la notion de continuité a depuis été généralisée pour s'appliquer aux cas de fonctions de R^n dans R^m, puis plus généralement entre espaces vectoriels normés, puis plus généralement entre espace métriques puis enfin entre espaces topologique ce qui a enfin permis "d'englober" toutes les notions de "proche" que l'on utilisait en math, y compris celle de "proche" pour la convergence simple des fonctions (rappel : la topologie de la convergence simple dans l'ensemble des fonction n'est pas métrisable).
Et là, dans le cadre "topologie générale", si on regarde comment s'exprime la notion de continuité (i.e. la généralisation la plus aboutie du "pour tout epsilon>0 ..." du Lycéen) on se rend compte qu'on peut difficilement faire plus simple : une fonction est continue ssi l'image réciproque de tout ouvert est ouvert.
Et à mon avis, c'est ce constat là (i.e. que la notion de continuité se généralise super archi bien en un truc super archi évident) qui a fait qu'il n'y a plus eu aucune discutions concernant le fait de savoir si c'était "la bonne" définition ou pas pour les fonctions de R->R.

Oui je pense qu'il faut connaitre la topologie générale pour vraiment comprendre pourquoi la définition actuelle de la continuité satisfait tout le monde et n'est plus remise en question.

[Lostounet]

Après sur le plan pédagogique je ne pense pas qu'on puisse faire mieux: pour expliquer la continuité à mon frère (en TS) je n'hésiterai pas à lui dire qu'on ne peut pas lever le crayon. La régularité des fonctions est un 'apprentissage spiralaire':(on commence par une idée vague puis on converge vers des subtilités) chaque année perso j'apprends de nouvelles notions de régularité (ce qui rajoute une couche sur les trucs d'avant) selon le contexte (la théorie de Fourier et les théorèmes de Dirichlet/Fejer, les espaces Lp, les espaces de Sobolev et les dérivations au sens des distributions, les espaces de Wiener etc).

Je ne pense pas qu'on devrait chercher un truc méga exhaustif dès le début (pédagogie).

Mais pour savoir quelle notion (minimale) illustre au mieux la notion de "continuité.." c'est une question très intéressante.
Je dirais qu'il faut bien controler les variations pour pouvoir ne pas lever le crayon. (Absolument continu => variations bornées)

[Pseuda]

@Lostounet. Entièrement d'accord. Au niveau pédagogique au lycée, on ne peut pas faire mieux pour définir la continuité que "sans lever le crayon". C'est celle qui correspond le mieux à l'intuition. "Il n'y a pas de coupure, ou de saut". Le TVI ne peut pas définir la continuité. On parle de la continuité à droite, à gauche, on démontre même, sans dire ce que c'est.

On se rend compte au fur et à mesure en effet que la régularité d'une fonction peut revêtir différents aspects (qui ne se rangent d'ailleurs pas tous en ordre croissant).

Absolue continuité => variations bornées, mais la fonction x*sin(1/x) est à variations bornées ?

[chan79]

Par exemple, la fonction f(x) = x* sin(1/x) et f(0)=0 est continue en 0 au sens mathématique du terme (par le théorème des gendarmes), mais on serait bien incapable de la tracer autour de 0 (par exemple d'aller de -1 en 1) sans lever le crayon.

Bonjour
Pas si facile de trouver des exemples du même genre mais où la fonction n'est pas prolongée par continuité.

[Pseuda]

Mais déclarer "sans lever le crayon, intuitivement elle le serait", n'a aucune valeur mathématique !

Non c'est sûr. Une fonction dérivable à dérivée continue, intuititivement on pourrait dessiner sa courbe d'un seul trait. Mais ce n'est qu'une intuition.

Mais je me disais que si c'était avéré, et si la définition de la continuité était "sans lever le crayon", toutes les fonctions dérivables seraient automatiquement de dérivée continue (les choses seraient plus simples).. Donc si les mathématiciens n'ont pas pris cette option, il doit y avoir une raison puissante.

[Pseuda]

Par exemple, la fonction f(x) = x* sin(1/x) et f(0)=0 est continue en 0 au sens mathématique du terme (par le théorème des gendarmes), mais on serait bien incapable de la tracer autour de 0 (par exemple d'aller de -1 en 1) sans lever le crayon.

Bonjour
Pas si facile de trouver des exemples du même genre mais où la fonction n'est pas prolongée par continuité.

Tu veux dire que toutes les fonctions de ce genre sont des fonctions prolongées par continuité ? Mais la réciproque est fausse : par exemple la fonction e^(-1/x) en 0+ (prolongée par continuité mais qu'on peut dessiner à partir de (0,0) sans lever le crayon).

En effet je n'y avais pas pensé. Il me semble aussi que toutes les fonctions de ce genre sont construites sur des fonctions trogonométriques.

[Ben314]

...toutes les fonctions dérivables seraient automatiquement de dérivée continue (les choses seraient plus simples)...

Si c'est ce genre de "simplicité" qui t'intéresse, alors, c'est super facile à obtenir : il suffit de considérer les fonctions de C->C et pas celle de R->R. Une fonction de C->C, si elle est dérivable, alors non seulement sa dérivée est forcément continue, mais en fait la fonction est forcément C^infini et même forcément analytique (ce qui est bien plus fort que C^infini).

[chan79]

Il me semble aussi que toutes les fonctions de ce genre sont construites sur des fonctions trigonométriques.

il y aurait aussi des choses de ce genre

[pascal16]

en 0, on fait un trait assez large et c'est bon.

le genre de fonctions trompeuse :
f(x) =x² pour x rationnel et -x² sinon. On ne sait pas quoi conclure par la seule représentation par un trait en dehors de 0.

[Pseuda]

...toutes les fonctions dérivables seraient automatiquement de dérivée continue (les choses seraient plus simples)...

Si c'est ce genre de "simplicité" qui t'intéresse, alors, c'est super facile à obtenir : il suffit de considérer les fonctions de C->C et pas celle de R->R. Une fonction de C->C, si elle est dérivable, alors non seulement sa dérivée est forcément continue, mais en fait la fonction est forcément C^infini et même forcément analytique (ce qui est bien plus fort que C^infini).

Ah la supériorité de C sur R parfois.

[Pseuda]

@Chan79 Quelle est l'expression de cette fonction qui ressemble à s'y méprendre à une fonction trigonométrique ? une composée ?

[chan79]

@Chan79 Quelle est l'expression de cette fonction qui ressemble à s'y méprendre à une fonction trigonométrique ? une composée ?

Rien d'extraordinaire; j'ai placé les 3 points A, B et C et j'ai créé la petite ligne brisée formée par [AB] et [BC], en rouge.
Il reste à créer une liste en faisant une séquence d'homothéties de centre O.
On peut faire ensuite la symétrie par rapport à l'axe des y.
C'est sans doute possible d'expliciter f(x) si f est la fonction associée.
Il y a donc continuité en 0.
Evidemment, c'est avec geogebra.

[Pseuda]

Bonjour chan79,

En effet, joli. On doit pouvoir l'exprimer sous forme algébrique. On doit pouvoir aussi l'exprimer à l'aide d'une fonction trigo. Mais c'est la 1ère remarque qui importe : il n'y a pas que les fonctions trigo qui connaissent ce genre de bizarreries (loin s'en faut j'imagine). Merci.