Continuité en revenant à la définition

[mathmo]

Bonjour,

je dois montrer la continuité de la fonction f(x)=(3x-1)/(x-5) sur R\{5} en revenant à la définition.

j'ai calculé |f(x)-f(xo)|=14|x-xo|/|x-5||xo-5| et là je bloque. J'ai vu un corrigé où la suite est celle-ci :

Pour x compris dans ]xo-(|xo-5|/2);xo+(|xo-5|/2)[ on a |x-5|>|xo-5|/2 etc...

Question n°1 :Ici je ne vois pas bien à partir de quoi il détermine l'encadrement de x qui permet de poursuivre la résolution.

Ensuite j'arrive à déterminer le delta en fonction du epsilon (de la définition). Le corrigé indique avant de conclure sur la continuité de f(x) : on pose delta=Min{|xo-5|/2;(xo_5)²*epsilon/28}

Question n°2 : Pourquoi poser delta=Min{... ?

Pourriez-vous m'éclairer sur ce passage, j'ai toujours beaucoup de difficultés sur ce type d'exo, sur certaines phases de la recherche du delta et de l'intervention de la fonction Min à la fin. Merci d'avance.

[Ben314]

Question n°1 :Ici je ne vois pas bien à partir de quoi il détermine l'encadrement de x qui permet de poursuivre la résolution.

Il faut que tu montre que |f(x)-f(xo)| est "petit" à condition que |x-xo| soit "petit".
Vu le numérateur que tu as dans |f(x)-f(xo)| on "sent" que ça va marcher, mais le dénominateur fait c...
Le |xo-5| n'est pas un problème vu que xo est "fixé" (ce qui signifie que le delta que tu va prendre a le droit de dépendre du xo).
Par contre, le |x-5| fait vraiment c... vu qu'il risque d'être trés petit et donc de faire grossir énormémént la fraction.
Il faut donc expliquer qu'avec la seule condition à laquelle tu as droit, c'est à dire prendre x proche de xo, on peut se démerder pour que x ne soit pas trop proche de 5. Tu prend donc comme condition que x doit être proche de xo à moins de la moitié de la distance de xo à 5 (i.e. 1/2.|xo-5|) ce qui va t'assurer que x va être distant de 5 d'au moins 1/2.|xo-5| (fait un dessin de l'axe réel avec xo et 5 pour mieux comprendre)

Question n°2 : Pourquoi poser delta=Min{... ?

Là, c'est trés simple : pour arriver au résultat escompté, c'est à dire au fait que |f(x)-f(xo)|<epsilon, il a fallu supposer dans un premier temps que |x-xo|<"truc" puis dans un second temps que |x-xo|<"bidule". Evidement, pour que la preuve fonctionne du début à la fin, il faut que |x-xo|<"truc" et aussi qu'il soit plus petit que "bidule".
Or, dire par exemple qu'on veut que |x-xo|<0.1 et aussi qu'il soit <0.05, ben ça se résume uniquement à dire qu'il est <0.05 qui est le plus petit des deux, c'est à dire... le min des deux...
(oui, c'est trés con...)

[mathmo]

Bonsoir ben314 et merci pour ta réponse, grâce à toi je commence à avancer, je ne maitrise pas encore tout mais je progresse, merci encore.