Continuité du produit par un scalaire

par **Garamond** » 05 Aoû 2016, 10:22

Bonjour,

Dans un e.v.n, j'essaie de montrer que les opérations de base sont continues.

J'aimerais montrer que l'application

est continue, où

est un espace vectoriel normé.

Le montrer pour les applications partielles est facile, mais pour le produit d'espaces métriques

je reste coi.

Pour l'application somme,

, je montre que l'application est lipschitzienne de paramètre 2.

Merci de vos lumières !

par **Robot** » 05 Aoû 2016, 14:03

Le coup habituel pour un produit :

par **Pseuda** » 05 Aoû 2016, 19:11

Pour le 1er, à ma connaissance, il s'agit de montrer que :

, dès que :

et

.

Pour cela, il suffit de décomposer la différence comme indiqué par Robot, et majorer |

| et

(avec les moyens du bord...).

par **Garamond** » 08 Aoû 2016, 07:27

Merci beaucoup ! Cette inégalité a-t-elle un petit nom ?