Continuité fonction

[akiwhite]

Bonjour,

la question est la suivante : Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle de I de R tel que :
Pour tout .
Montrer que l'on a soit f = g soit f = -g.

En fait je me demande s'il on a le droit de suivre le raisonnement suivant :
- f et g sont continues donc f(x)² et g(x)² le sont aussi
-on peut alors simplement appliquer la racine carrée sur ces fonctions puisqu'elles sont positive et en déduire
f = g ou f = -g

Ca me parait trop simple ...

Merci pour vos réponses,
cordialement,

Akiwhite

[GaBuZoMeu]

- f et g sont continues donc f(x)² et g(x)² le sont aussi
-on peut alors simplement appliquer la racine carrée sur ces fonctions puisqu'elles sont positive et en déduire
f = g ou f = -g

Tu restes trop dans le flou avec ce raisonnement. Ce que tu peux en déduire, c'est que
pour tout appartenant à , on a ou .
Mais ce n'est pas ce qu'on te demande. On te demande de montrer que
pour tout x appartenant à on a ou pour tout appartenant à on a .
Vois-tu la différence ? Avec le premier énoncé il se pourrait qu'on ait pour certains et pour d'autres. Ce qu'on te demande de démontrer, c'est que ça ne peut pas se produire : on a tout l'un, ou tout l'autre.

J'espère que tu as saisi le problème. Je te laisse y réfléchir.

[Mimosa]

Bonjour

Ce que tu peux dire, c'est seulement que pour tout de l'intervalle, tu as , mais tu ne sais pas si c'est toujours + ou toujours moins.

Si tu prends sur et sur et sur tu as bien pour tout .

Morale: il faut utiliser la continuité!

Désolée, légèrement en retard!

[akiwhite]

Merci pour vos réponses, j'ai compris le soucis.

Mais je ne trouve aucune piste pour le résoudre en utilisant sa continuité ..

[GaBuZoMeu]

On peut penser à considérer la fonction ; que peut-on en dire ?

[LB2]

Bonjour,

C'est un argument de théorème des valeurs intermédiaires.
La fonction f/g (par exemple) est bien définie, continue, et ses valeurs sont +1 ou -1.

Donc si elle n'est pas constante, par TVI elle passe nécessairement par 0 : contradiction.

Conclusion : f/g est constante, ce qu'on voulait.

@GBZM : oups, désolé

[GaBuZoMeu]

Bravo LB2, tu as fait l'exercice à la place d'akiwhite !
C'est bien, tu as montré que tu savais le faire.

[akiwhite]

Merci à vous !

[LB2]

Bravo LB2, tu as fait l'exercice à la place d'akiwhite !
C'est bien, tu as montré que tu savais le faire.

Je n'apprécie pas beaucoup ce ton.
J'estime que le questionneur a suffisamment avancé dans sa réflexion pour lui apporter des éléments de solution, et le mot clé "valeurs intermédiaires" n'avait pas encore été donné.

Reste pour lui à comprendre pourquoi l'argument que je donne, qui n'est pas une solution rédigée, fonctionne et s'intègre à sa solution.

[GaBuZoMeu]

Et moi je trouve que tu te fiches du monde (et que tu contreviens à la charte du forum).