Continuité de la fonction caractéristique

[kodokan]

Bonjour,

la fonction caractéristique définie par :
X_E(t)= | 1 si t est dans E
| 0 sinon
est-elle continue ?

Si oui dans quelle cas ?
Sinon, que peut-on faire pour la rendre continue ?

Merci de me répondre.

[serge75]

Je te fais une réponse pour E partie de R, mais tu pourrais sans trop de mal étendre à un espace métrique quelconque.
Je rappelle qu'on dit qu'un point x est intérieur à E s'il existe r>0 tel que ]x-r,x+r[ soit inclus dans E.
1er cas : si x est intérieur à E, alors sur ]x-r,x+r[ on a X_E(t)=1, donc continuité.
2ème cas : si x est intérieur au complémentaire de E, il existe alors r>0 tel que ]x-r,x+r[ soit inclus dans le complémentaire ; sur cet intervalle X_E vaut 0 et on a à nouveau la continuité en x.
3ième cas : x est est intérieur ni à E ni à son complémentaire (on dit que x est dans la frontière de E). Alors pour tout n>0 en posant r=1/n on a que ]x-r,x+r[ n'est pas inclus ni dans E ni dans son complémentaire. Il existe donc un x_n dans cet intervalle qui ne soit pas dans E et un y_n dans cet intervalle qui ne soit pas dans le complémentaire -ie qui est dans E -.
Ainsi les suites x_n et y_n tendent vers x (gendarmes) et X_E est nulle sur les x_n et vaut 1 sur les y_n. Donc X_E ne peut avoir de limite en x.

En conclusion : E_X est continue en x ssi s n'est pas frontière de E.
Un cas à réfléchir : si E=Q : X_Q n'est continue en aucun point.
Serge

[kodokan]

Bonsoir, merci de ta réponse,
j'ai aussi appris que la convolution peut "régulariser" cette fonction.
Sous de bonnes hypothèses, je vais pouvoir m'en servir.

[serge75]

Ca, je suis moins sûr que ça marche car la convolution permet d'approcher uniformément une fonction continue par des fonctions de classe C-infini (si je dis pas de bêtise ; il se peut qu'il faille aussi qu'elle soit à support compact ; j'ai la flemme de vérifier). Comme ta fonction caractéristique n'est pas continue, la convolution risque de ne rien pouvoir pour toi (d'ailleurs une limite uniforme de fonctions continues l'est).
Serge