Continuité et dérivabilité d'une fonction en dimension 2

[sqrtqmaths]

Bonjour, ma question est très simple mais j'avoue avoir un trou.
Pour une fonction sur R^2 qui est définie différemment en (0,0) que sur R^2*, comment montrer qu'elle est continue ? D'abord (en général) j'admet qu'elle est continue sur R^2* grâce aux définitions connues (polynômes, composée de fonction continues etc). Puis comment montrer qu'elle est continue en 0 ?

Aussi, pour trouver la dérivée partielle premiere en (0,0) je fais ( f(h,0)-f(0,0) )/h quand h tend vers 0. Et pour la dérivée seconde quelle est la formule ?

[phyelec]

Bonjour,
quelques éléments sur la continuité :
1) Une fonction f(x,y) est dite continue en (x0,y0) si lorsque (x,y) tend vers (x0,y0), f(x,y) tend
vers f(x0,y0),
2) si une fonction f(x0,y0). est continue au point (x0, y0) alors toute restriction de f à courbes continues qui passent par le point (x0, y0) est continue au point (x0, y0),
3)une stratégie pour prouver que une fonction f N’EST PAS CONTINUE au point (x0, y0) est de trouver 2 courbes continues y = f1(x), y = f2(x) telles que y0 = f1(x0) et y0 = f2(x0) qui conduisent à deux valeurs différentes de la limite.
4)pour votre question en(0,0) : une fonction f(x, y) est continue sur R2 \ {0, 0} parce que elle est quotient de fonctions continues.
- pour montrer qu'elle est continue en (0,0). On peut le faire par les normes ou bien par passage en coordonnées polaires,puis passer à la limite et montrer que la limite vaut f(0,0),
- Pour montrer qu'elle n’est pas continue au point (0, 0) on cherche deux directions qui conduisent à deux limites différentes. On considère y = f1(x )et y =f2( x)( qui passent pour (0, 0)). Par exemple y = f1(x ) =x et y =f2( x)=x^2

[phyelec]

quelques éléments sur les dérivées partielles :
1) si f(x,y) est continue alors elle a des dérivées partielles premières en x et y,
2) les dérivées partielles ne sont pas forcément continues. Il faut donc étudier leur continuité ( voir mon post précédent),
3)Si les deux dérivées partielles de f(x,y) sont continues sur R2, f (x,y) est de classe C1( sur R2).
4)Si f (x,y) est de classe C1, elle admet un développent limité d'ordre 1 en chaque point (x, y) de R2