Continuité et dérivabilité

[yongqi]

Bonjour,

j'ai a justifier si cette affirmation est vraie ou fausse. Mais je ne sais pas comment démarrer.

Soit f la fonction définie pour x E R par
f(x) =|x+ pi| si x >= 0
=|x- pi | si x < 0

La fonction définie sur R par h(x) = sin(f(x)) est continue dérivable en 0.


Merci

[Laurent Porre]

Bonjour,

j'ai a justifier si cette affirmation est vraie ou fausse. Mais je ne sais pas comment démarrer.

Soit f la fonction définie pour x E R par
f(x) =|x+ pi| si x >= 0
=|x- pi | si x < 0

La fonction définie sur R par h(x) = sin(f(x)) est continue dérivable en 0.


Merci

continue en 0 : facile, faut calculer h(0-) et h(0+), tu vois facilement que c'est égal donc continue en 0.

pour la dérivabilité, il faut calculer le taux d'acroissement à gauche puis à droite de 0. Tu auras une forme indéterminée pour la limite, mais en réarrangeant tes formules trigo ça marche et tu devrais trouver un taux d'acroissement différent à gauche et à droite...
donc...

[yongqi]

pour la continuité il faut également que la limite de 0 de h (si elle existe) soit égale à h(0)

par contre pour la dérivabilité, je ne vois pas très bien comment simplifier sin|x+ pi| et sin |x-pi| car il y a des valeurs absolues. Je sais qu'on devrait trouver quelque chose du type (sinx)/x :help:

[mathelot]

pour x petit
vaut
en fait, on aurait envie d'écrire :we:
vaut

[yongqi]

en fait dans le cas x sup à 0 on a h(x)=sin |x + pi| = sin (x + pi) = -sin(x)
donc on trouvera une limite de -1 pour la limite a gauche

et l'autre cas, x inf à 0, h(x)=sin|x-pi|= sin(-pi-x) = sin(pi-x)=sin x
donc on trouvera une limite de 1 pour la limite a gauche

Je crois que j'ai trouvé tout seul
est-ce cela ?

[mathelot]

sin|x-pi|= sin(-pi-x)

[yongqi]

petit erreur, limite à droite pour x sup à 0 je voulais dire