Continuité de l'application puissance en dimension infinie...

[DedenK]

Bonjour,

Une question qui me turlupine... Est-ce que l'application puissance ^k (k entier supérieur ou égal à 2) est continue pour la norme infinie sur C(]0,1[,R) ? (et ai-je le droit de considérer cet intervalle ouvert ?)

Pour moi, c'est non en considérant simplement [x->1/x+1/n] qui tend uniformément vers [x->1/x] puisque, au carré par exemple, on a [x->1/x²+1/(nx)+1/n²] et donc par différence avec [x->1/x²], il reste [x->1/(nx)+1/n²] qui n'est pas majorée au voisinage de 0. Donc la suite des carrés ne tend pas uniformément vers la limite au carré, et la fonction ^2 n'est pas continue sur C(]0,1[,R)... Juste ?
Mais mes cours me disaient pourtant que les applications polynomiales, notamment, étaient toujours continues... ou alors j'ai rêvé. Est-ce que ça vient du fait que je prends un intervalle ]0,1[ ouvert ? En effet, ma fonction peut alors ne pas être bornée, et c'est ce qu'il semble tout faire marcher. Je n'arrive pas à trouver de contre-exemple si je prend [0,1]...

Merci beaucoup. J'espère que vous confirmerez.
Cordialement, DedenK.

[ThSQ]

la norme infinie sur C(]0,1[,R)

Mmmmm, es-tu vraiment sûr que c'est une norme :hum: :triste:

Que vaut pour ??

[DedenK]

Ach! Bah oui, c'est là que ça coince !!! Merci beaucoup !