Contante de lipschitz

[helpmeplease1993]

Bonjour,
je dois determiner les contantes de lipschitz des fonctions suivantes sur les intervalles suivants:
f(x)=2x²+x sur [0,2]
f(x)= 3x³+2x²+x sur [-1,1]
f(x)= (1/3)x³ + 2x² + x sur [-2.0]


si quelqu'un pouvait m'expliquer comment trouver la premiere.. (il me semble qu'il faille utilisé les accroisement fini mais je n'en suis pas sure!)

[bentaarito]

bonsoir,

si je ne m'abuse, il suffit de borner la norme de la dérivée première.

[helpmeplease1993]

en gros je dois faire ca:
f'(x)= 4x+1

00<4x<8
1<4x+1<9

ca me parait bizard non?

[bentaarito]

non c'est bien ça et c'est normal du moment où on sait qu'on a l'équivalence :
Une fonction f dérivable sur un intervalle réel est lipschitzienne si et seulement si sa dérivée est bornée.

La contante de lipschitz figurant dans une majoration, est la plus petite constante qui convient

[helpmeplease1993]

en gros la c'est 1 ou c'est 9 ?

[helpmeplease1993]

moi dans mon cours ya écris:
Une fonction f: A-> R est dite lipschitzienne si il existe une constante L
|f(x)-f(y)|< (inferieur ou egal) L|x-y|

[bentaarito]

à ton avis?

[helpmeplease1993]

je pense que c'est 9 ^^

[helpmeplease1993]

par contre la 2nd c'est chaud car la dérivé est : 9x²+4x+1

(oui je suis nul en math :p) moi jsais pas comment borné ce truc xD

[bentaarito]

oui c'est bien 9

pour borner la dérivée de la deuxième fonction tu procèdes à peu près pareil, c'est du niveau 1ére ou même 2nd

[bentaarito]

moi dans mon cours ya écris:
Une fonction f: A-> R est dite lipschitzienne si il existe une constante L
|f(x)-f(y)|< (inferieur ou egal) L|x-y|

oui mais si de plus f est dérivable sur A ( ce qui est le cas ici ) tu peux poser x=y+h et t’obtiens, par passage à la limite quand h tend vers 0, l'équivalence citée au dessus

[helpmeplease1993]

Oki merci :) . mais je trouve pas la borne ><

[bentaarito]

si x est dans [-1,1], x² il est où?

[helpmeplease1993]

moi j'ai trouvé impossible. (enfin pas de constante)

[helpmeplease1993]

j'ai reussi a faire le reste :) merci beaucoup :p tu m'as bien aidée ^^

[bentaarito]

comment as-tu pu conclure?

[helpmeplease1993]

j'ai fais delta, il est négatif donc c'est ds les complexe, alors j'ai dis que c'est imposible de trouvé une constante car la fonction n'est pas bornée sur l'intervale.
enfin je crois que c'est ca x)

[bentaarito]

tu cherches à majorer 9x²+4x+1 sur [-1,1] je vois pas à quoi ça sert delta ici

[helpmeplease1993]

XD un mec de ma promo m'a dit qu'il fallait faire delta mdr x)

[bentaarito]

si -1<= x <= alors 0>= x²<=1.. continue