Constructuion d'une application surjective

[smartynina]

Bonjour,

On dispose d'une famille (Ej) , j appartenant à N, dénombrable d'ensembles finis, chacun de cardinal supérieur ou égal à 2.
J'aimerais savoir s'il est possible de construire une application surjective de P(N) sur l'ensemble produit *En, où n appartient à N.

Merci de votre aide.

[Mortelune]

J'ai pas trop compris quel était l'ensemble d'arrivée mais sans doute puisque P(N) n'est pas dénombrable.

[Ben314]

Salut,
La réponse est oui : tes deux ensemble ont le même cardinal (qui est celui de {0,1}^N ou, si tu préfère de R) donc il existe une bijection entre les deux.
Pour montrer que le produit des Ej a le même cardinal que P(N), il suffit de constater que {0,1} =< Ej =< N (en terme de cardinaux) donc
{0,1}^N =< produit des Ej =< N^N
Sauf qu'il est connu que N^N={0,1}^N (en terme de cardinaux)

[smartynina]

L'ensemble d'arrivé est le produit cartésien des ensembles Ej.
J'aurais besoin de construire cette application, mais je suis un peu démunie. Je ne sais pas comment faire.

Merci

[Ben314]

A mon sens, cela n'as pas grand intérêt de construire une telle application, mais on peut le faire :

Tu numérote les éléments de E1 puis de E2, puis de E3,... en utilisant les mêmes indices :
E1={a_1,a_2,...a_n1}
E2={a_(n1+1),a_(n1+2),...,a_n2}
E3={a_(n2+1),a_(n2+2),...,a_n3}
etc.
Ensuite, partant d'une partie A de N, si cette partie contient
un unique entier k1 entre 1 et n1,
un unique entier k2 entre n1+1 et n2,
un unique entier k3 entre n2+1 et n3,
etc
alors tu pose f(A)=(a_k1,a_k2,a_k3,...) qui est bien un élément du produit des Ei.
Dans les autres cas, tu pose f(A)=n'importe quoi, par exemple f(A)=(a_n1,a_n2,a_n3,...)
Cette application f est clairement surjective de P(N) dans le produit des Ei.