Construction du log

[muse]

Bonjour a tous je me pose quelques questions dans la construction de la fonction log. Je ne définis par du tout ln comme étant la réciproque de exp. J'essaie d’ailleurs de le montrer...

Je pars du principe que je veux etudier les fonctions f tel que
f(x*y)=f(x)+f(y)
Avec f continue sur ]0 + oo[

On trouve quelques propriétés dont celle ci



Par conséquent elles sont proportionnelles. On choisit une seule en prenant k=1



J'appelle a ca base et je veux montrer que a=e
sachant que f(a)=1 j'ai



Deplus e est défini, dans la construction des exponentielle, par


Comment puis montrer que a=e ?

J'espere que mon message est assez clair

Merci a tous.

[muse]

Ou alors j'appelle f la fonction reciproque de exp

donc en dérivant on obtient

et donc



La fonction que j'avais choisie au début. Par conséquent f(x)=ln(x)+K
donc



On particularise avec x=0 et on trouve k=1. On conclue que la réciproque de exp est ln.

enfin ca me dit pas encore que la base est e il faut que je montre que ln(e)=1

J'ai démontré que

Je compose par ln



et donc

[mathelot]

si l'on suppose f dérivable en 1:

[zygomatique]

salut

f(xy) = f(x) + f(y)

donc

x = y = 1 => f(1) = 0

on montre ensuite par récurrence que

on montre alors que c'est vrai pour tout exposant rationnel puis par densité pour tout exposant réel par continuité de f

f(1) = f(x*(1/x)) = f(x) + f(1/x) = 0 f(1/x) = - f(x)



to be continued ....


comment trouves-tu

On trouve quelques propriétés dont celle ci

[Matt_01]

Bonjour a tous je me pose quelques questions dans la construction de la fonction log. Je ne définis par du tout ln comme étant la réciproque de exp. J'essaie d’ailleurs de le montrer...

Je pars du principe que je veux etudier les fonctions f tel que
f(x*y)=f(x)+f(y)
Avec f continue sur ]0 + oo[

On trouve quelques propriétés dont celle ci



Par conséquent elles sont proportionnelles. On choisit une seule en prenant k=1



J'appelle a ca base et je veux montrer que a=e
sachant que f(a)=1 j'ai



Deplus e est défini, dans la construction des exponentielle, par


Comment puis montrer que a=e ?

J'espere que mon message est assez clair

Merci a tous.

Ben tu calcules f(e) :
f((1+1/n)^n)=nf(1+1/n) -> f'(1) quand n tend vers +inf (je te laisse voir pourquoi)
et donc par continuité de f, f(e)=f'(1).

La chose qui me pose problème dans tes affirmations par contre, c'est comment tu obtiens la dérivabilité de f.

[muse]

On trouve quelques propriétés dont celle ci

f(xy)=f(x)+f(y)

On dérivé par rapport a y
On prend y=1 et on a le résultat pour tout x

(ou alors comme l'a dit mathelot, je n'avais pas vu)

Du coup j'integre sous oublier que f(1)=0

@zygomatique:
c'est les propriétés dont je parlais quand je disais "On trouve quelques propriétés dont celle ci"

@Matt_01:
la dérivabilité est assez pénible a montrer...
En fait il suffit d'avoir f(xy)=f(x)+f(y) pour f de R+* dans R continu en UN point pour avoir la dérivabilité. C'est expliqué page 2 : http://math.univ-lyon1.fr/capes/IMG/pdf/new.logarithme.pdf
J'avoue ne pas avoir tout compris surtout quand il dit : "ce qui montre que f(x) est dérivable" je vois pas pourquoi cette écriture de f montre la dérivabilité
Je vais rélféchir a ce que tu as dis.

Mais ma démo est elle valable ?

EDIT: j'ai compris @Matt_01, je pose h=1/n puis je soustrais f(1) qui vaut 0 donc je peux et j'obtiens directement la dérivé de f en 1 qui vaut 1 par hypothèse. EN effet quand j'avais dit que je prenais une des fonction, j'avais fixé k=1 mais on avait f'(1)=k. Je m'en veux un peu pour le coup de ne pas avoir su faire tout seul

[Matt_01]

OK, autant pour moi, je pensais simplement que tu avais oublié de montrer la dérivabilité avant de dériver.
L'expression dans le pdf pour f permet de conclure la dérivabilité car elle est composée d'une intégrale que l'on pourrait écrire F(2x)-F(x) ou F est une primitive de f, donc dérivable sur R*+, multipliée par 1/x qui est aussi dérivable sur R*+. L'ajout de la constante ensuite ne change pas l'aspect dérivable.

[zygomatique]

certes .... maistu ne me dis toujours pas comment tu la trouves ...

[muse]

certes .... maistu ne me dis toujours pas comment tu la trouves ...

Ben si:

f(xy)=f(x)+f(y)

On dérivé par rapport a y
On prend y=1 et on a le résultat pour tout x

(ou alors comme l'a dit mathelot, je n'avais pas vu)

Du coup j'integre sous oublier que f(1)=0

Ou alors je ne comprends pas ce que tu demandes ...

[muse]

OK, autant pour moi, je pensais simplement que tu avais oublié de montrer la dérivabilité avant de dériver.
L'expression dans le pdf pour f permet de conclure la dérivabilité car elle est composée d'une intégrale que l'on pourrait écrire F(2x)-F(x) ou F est une primitive de f, donc dérivable sur R*+, multipliée par 1/x qui est aussi dérivable sur R*+. L'ajout de la constante ensuite ne change pas l'aspect dérivable.

Pour être complètement honnête je m'étais pas posé la question et je voulais étudier l'ensemble des fonctions vérifiant f(xy)=f(x)+f(y) définies sur R+* et dérivables. Du coup je n'avais pas besoin de montrer la dérivabilité puisqu'elle était supposée. Mais c'est quand meme plus rigoureux de ne pas le faire et de le démontrer

[zygomatique]

ok mais pour dériver il faut d'abord savoir qu'on peut ....

or tu n'en parles pas dans ton premier post ....

[muse]

ok mais pour dériver il faut d'abord savoir qu'on peut ....

or tu n'en parles pas dans ton premier post ....

En effet ...

[Matt_01]

Pour être complètement honnête je m'étais pas posé la question et je voulais étudier l'ensemble des fonctions vérifiant f(xy)=f(x)+f(y) définies sur R+* et dérivables. Du coup je n'avais pas besoin de montrer la dérivabilité puisqu'elle était supposée. Mais c'est quand meme plus rigoureux de ne pas le faire et de le démontrer

Ben on pourrait simplement chercher celles qui sont dérivables.
Mais on ne se rendrait pas compte qu'il suffit en fait qu'elles soient continues pour être derivables et que donc on a une solution à un problème plus général.

[wserdx]

Par curiosité, je me suis demandé quelles étaient les solutions non continues.
Une réponse (existentielle, non constructive) est donnée par les bases de Hamel et la solution à l'équation fonctionnelle de Cauchy
Georg Hamel
équation fonctionnelle de Cauchy

[muse]

Sauf qu'on a dit que si la fonction était continue en un point alors elle l'était partout. Par conséquent tes fonctions sont discontinues en tout point alors ?

[wserdx]

Sauf qu'on a dit que si la fonction était continue en un point alors elle l'était partout. Par conséquent tes fonctions sont discontinues en tout point alors ?

ben oui forcément.

[muse]

C'est assez surprenant comme résultat :) c'est pas souvent qu'on croise des fonctions discontinues en tout point

[Ben314]

C'est assez surprenant comme résultat c'est pas souvent qu'on croise des fonctions discontinues en tout point

Oui, mais il ne faut (surtout) pas oublier que cette fonction là, on ne la "croise pas" vraiment : on a besoin de l'axiome du choix pour justifier de l'existence de bases de R en temps que Q-espace vectoriel ce qui signifie qu'on ne peut pas construire explicitement une telle fonction.

[wserdx]

On peut quand même essayer de se faire une idée "constructive" d'une fonction non continue sans l'axiome du choix.
En se restreignant par exemple aux seuls réels de la forme et en définissant par exemple.

[SLA]

On peut quand même essayer de se faire une idée "constructive" d'une fonction non continue sans l'axiome du choix.
En se restreignant par exemple aux seuls réels de la forme et en définissant par exemple.

Plus simple: prendre l'indicatrice des rationnels.