[MPSI MPSI] construction d'ensemble

[Anonyme]

Bonjours à la communauté des mathématiciens
Pouvez vous m'aidez à resoudre ce probleme.

Montrer qu'il existe une infinité de nombre premiers de la forme 4n -1

raisonnement par l'absurde
Je pense que déja l'ensemble n'est pas vide puisque pour n=1 on a 4n-1
= 3
qui est effectivement premier.
Par récurrence supposons qu'il existe M = 4(2x3x..N)-1 et qu'il existe
un entier p plus grand que N et qui est premier
Alors on peut en conclure que p est premier et supérieur à N
donc l'ensemble est infini...

Merci pour votre aide et à bientot ...

[Anonyme]

> Montrer qu'il existe une infinité de nombre premiers de la forme 4n -1
>
> raisonnement par l'absurde
> Je pense que déja l'ensemble n'est pas vide puisque pour n=1 on a 4n-1
> = 3
> qui est effectivement premier.
> Par récurrence supposons qu'il existe M = 4(2x3x..N)-1 et qu'il existe
> un entier p plus grand que N et qui est premier
> Alors on peut en conclure que p est premier et supérieur à N
> donc l'ensemble est infini...

Correct mais embrouille.
Desembrouille, cela donne :

supposons qu'il n'y ait qu'un nombre fini de nombres premiers
de la forme 4n-1.

Donc il existe N tel que tous ces nombres soient <= N.

Considerons M=4(2x3x..N)-1.

Je dis qu'il existe un facteur premier p de ce nombre
qui est de la forme 4n-1.
(en effet, le produit de deux entiers de la forme 4n+1 est
de la forme 4n+1 ... etc. Attention l'existence de ce p est
cruciale, il faut donc un raisonnement bien fait a ce niveau !).

Cet entier p est premier a tous les entiers <=N et donc n'est
pas dans notre liste des nombres premiers de la forme 4n-1.

Ce qui est la contradiction recherchee.

JQCA, O.

[Anonyme]

Olivier wrote in message news:...[color=green]
> > Montrer qu'il existe une infinité de nombre premiers de la forme 4n -1
> >
> > raisonnement par l'absurde
> > Je pense que déja l'ensemble n'est pas vide puisque pour n=1 on a 4n-1
> > = 3
> > qui est effectivement premier.
> > Par récurrence supposons qu'il existe M = 4(2x3x..N)-1 et qu'il existe
> > un entier p plus grand que N et qui est premier
> > Alors on peut en conclure que p est premier et supérieur à N
> > donc l'ensemble est infini...
>
> Correct mais embrouille.
> Desembrouille, cela donne :
>
> supposons qu'il n'y ait qu'un nombre fini de nombres premiers
> de la forme 4n-1.
>
> Donc il existe N tel que tous ces nombres soient
> Considerons M=4(2x3x..N)-1.
>
> Je dis qu'il existe un facteur premier p de ce nombre
> qui est de la forme 4n-1.
> (en effet, le produit de deux entiers de la forme 4n+1 est
> de la forme 4n+1 ... etc. Attention l'existence de ce p est
> cruciale, il faut donc un raisonnement bien fait a ce niveau !).
>
> Cet entier p est premier a tous les entiers pas dans notre liste des nombres premiers de la forme 4n-1.
>
> Ce qui est la contradiction recherchee.
>
> JQCA, O.[/color]


MERCI CHALEUREUSEMENT à Olivier wrote in message news:...
pour son message sur les nombres premiers.