Construction de l’ensemble des rationnels

[Orange75]

Bonjour,

Je me suis intéressé à la construction de l’ensemble Q, mais quelque chose me paraît bizarre. On note la plupart du temps R la relation d’équivalence définie par : pour tous entiers a,b,c,d, (a,b)R(c,d) <=> ad=bc. Pourtant, on n’a pas prouvé que ad=bc équivalait à (a/b)=(c/d) car ad=bc <=> ad/b = c <=> d*(a/b) = c mais pour que cela soit équivalent à (a/b) = (c/d), il faudrait avoir prouvé que la multiplication est commutative dans Q, ce qui n’est pas encore fait... et ce qui me dérange c’est que l’on commence, avant d’avoir défini l’addition et la multiplication, à montrer que ka/kb = a/b en utilisant cette relation R dont on ne sait toujours pas qu’elle équivaut à une égalité de fractions...

Merci de votre aide

[GaBuZoMeu]

Le rationnel est la classe d'équivalence du couple pour la relation d'équivalence:
si et seulement si .
C'est une définition. La seule chose à démontrer à ce niveau, c'est que la relation est bien une relation d'équivalence. Sais-tu le faire ?

[Orange75]

Ah d’accord, merci. Oui je sais le démontrer.