Conséquence de Hahn-Banach

[melreg]

Bonjour,

On m'a dit que le résultat suivant est une conséquence de Hahn-Banach :

Soit E un espace de Banach, t.q. .
Alors x=0.

J'ai regardé les corollaires de Hahn-Banach dans mon cours d'analyse fonctionnelle, mais je n'ai pas trouvé ce résultat... Enfin le fait qu'il y ait plusieurs "formes" pour ce théorème et le fait qu'il ne soit pas facile à comprendre, fait que je suis un peu perdu...

Quelqu'un pourrait me dire si ce résultat est bien une conséquence de Hahn-Banach? Et si oui, si possible me donner un corollaire approprié, ou une idée pour le prouver à partir de hahn-Banach!

Merci beaucoup d'avance

[leon1789]

hello
E' est l'espace vectoriel constitué des ......

[melreg]

Oui des formes linéaires continues... Donc on peut toujours trouver une forme linéaire continue L t.q L(x) 0 pour x 0 ?? Par exemple l'identité (qui est continue)... c'est ça?

[abcd22]

Bonjour,

Oui des formes linéaires continues... Donc on peut toujours trouver une forme linéaire continue L t.q L(x) 0 pour x 0 ?? Par exemple l'identité (qui est continue)... c'est ça?

L'identité de E n'est pas une forme linéaire si E n'est pas le corps de base. En revanche, si x est non nul, on peut définir une forme linéaire sur E qui vaut 1 en x en prolongeant la forme définie sur la droite Kx par f(ax) = a grâce à Hahn-Banach (corollaire 1.2 du Brézis précisément).

[Doraki]

L'identité c'est pas une forme linéaire.

Mais si tu prends un x non nul, le théorème de Hahn banach dit que tu peux trouver un hyperplan qui ne rencontre pas x, c'est à dire une forme une linéaire qui n'annule pas x.

[melreg]

Donc l'astuce résidait bien dans Hahn-Banach...

[yassine1982]

Salam,
La réponse est la suivante:
tu as f(x)=0 pour toute formes linéaire continue sur un banach;tu veux montrer que x=0.
On considère le sous espace de E engendré par x;F= c'est bien un banach muni de la norme induite de celui de E.
on considère la forme p(x)=IIxII (la norme de x) qui est une sous linéaire continue alors d abres le théorème de hahn banach on peut prolonger p(x) à une forme linéaire f continue sur E tel que IIfII=IIPII, or f(x)=0 pour tour x dans F (par hypothèse) donc IIPII=0, c-à-d IIxII=0 d'où le résultat demander.