Connexité simple dans la sphère de Riemann

[Nightmare]

Salut à tous !

Je chercher à démontrer le théorème suivant :

Soit un ouvert O connexe de alors si le compact est connexe, O est simplement connexe

Voici mon raisonnement :


On peut supposer, à homographie près, que O est dans . D'après le théorème de Riemann, il est donc équivalent de montrer que pour toute fonction f holomorphe sur O et tout lacet par morceau.

Ensuite, on doit utiliser l'indication suivante :
indication : En notant , considérer le quadrillage du plan par des carrés de côté

Déjà, l'indice de gamma est localement constant sur et nul au voisinage du point à l'infini. Par conséquent il est localement constant au voisinage de S²-O et par connexité, vu que le point à l'infini est dedans, qu'il est nul sur S²-O, d'où l'idée de considérer X.

Ceci étant fait, je ne vois pas à quoi sert le quadrillage indiqué, je pense bien que c'est une histoire de découpe d'intégrale, mais je ne comprend pas la découpe qu'on attend !

Merci de l'aide éventuelle. :happy3:

[Doraki]

f(gamma) ? X c'est la réunion de f(gamma) avec un truc inclus dans f(gamma) ?

En faisant semblant de comprendre, on a que l'ensemble des points par rapport auxquels l'indice de gamma est non nul, X, est donc un fermé inclus dans O, c'est bien ça ?

[Nightmare]

petit up, il me manque un argument pour conclure.

En fait on remarque qu'un carré du quadrillage ne peut pas couper à la fois X et S²-O, donc en fait ce n'est pas le chemin qu'on va décomposer mais la fonction.

Je pense utiliser le théorème de Cauchy, en notant , et (Ki) le quadrillage, on a pour tout omega si et 0 sinon.

Je pose alors la famille des segments ayant pour image les côtés des carrés qui coupent X et .

J'ai montré que puisque d'après le théorème de Fubini, (X est compact) .

Je ne dois pas être loin du but, il me manque quelque chose pour conclure quant à la nullité de l'intégrale.

[Nightmare]

Salut Doraki !

C'était bien sûr,

[Nightmare]

Plus qu'un fermé, c'est même un compact et il est bien contenu dans O

[Nightmare]

problem solved !

[Arkhnor]

Salut.

Dans le livre Fonctions analytiques de P.Vogel, il y a une démonstration qui semble différente, et qui consiste à imiter une preuve du théorème de Riemann afin de montrer que l'ouvert est en représentation conforme avec le disque unité.

[Nightmare]

Salut Arkhnor !

Intéressant, effectivement l'approche est complètement différente. Si tu peux m'en dire plus ...

[Arkhnor]

Dans la démonstration du théorème de Riemann de ce livre (où on établit qu'un ouvert simplement connexe de C distinct de C est en représentation conforme avec le disque), la seule propriété de l'ouvert simplement connexe utilisée est que la fonction admet une primitive. (par homographie, on suppose que l'ouvert est dans C, et ne contient pas 0, le cas où le complémentaire dans la sphère de l'ouvert ne soit constitué que d'un point étant trivial)
Il faut donc montrer que l'indice de 0 par rapport à toute courbe fermée de O est nul.

Si est une courbe fermée de O, la fonction définie sur le complémentaire de O associant à z son indice par rapport à est localement constante, donc constante car le complémentaire est connexe. Or elle est nulle en l'infini ...

[Nightmare]

Je te remercie, bon en fait ça rejoint un peu ce que j'ai fait au départ, on ne conclut juste pas de la même manière !

:happy3:

[Arkhnor]

C'est juste un peu moins technique, mais les difficultés sont cachées dans la preuve du théorème de Riemann. :happy3: