Connexité de deux ensemble en R²

[oaydin]

Salut,
On voulait montrer si S est connexe ou pas.
(S = {(x, y) ∈ R² | 1 ≤ d((x, y), 0) < 2} ⊆ R²)

Donc on a essayé de faire une prouve comme ça

image : https://ibb.co/3RmZFZW

Selon vous, est-ce que c'est correcte ? Est-ce qu'il y a des manques ?

Merci pour les comments

[mathelot]

On peut montrer , en coordonnées polaires, que la couronne est connexe par arcs.
Donc connexe.

[Ben314]

Salut,
Bon, ben soyons clair : c'est du grand n'importe quoi du début à la fin :
- Déjà la définition de S avec c'est pas terrible : ça serait nettement plus correct d'écrire ou bien
- Ensuite, les définition de U et V c'est n'importe quoi. ça : ça n'a pas le moindre sens.
- De plus, pour montrer que S est connexe, il faut montrer qu'il n'existe pas d'ouverts U et V tels que . . . et évidement, ça signifie que si on le fait par l'absurde, ben il faut commencer par écrire "Soit U et V deux ouverts quelconques tels que . . . " et donc sûrement pas en prenant deux cas particulier pour U et pour V comme tu le fait (ça ne prouvera absolument rien).
-Ensuite, le , vu où il est placé, c'est aussi du grand n'importer quoi : ce même symbole est déjà utilisé DEUX fois précédemment pour définir U et V. Il fallait le comprendre comment ce symbole dans les définition de U et V : comme fixé une fois pour toute ? comme variable ? Est ce le même que celui qui apparaît PLUS TARD (comme un cheveux dans la soupe) sous forme de ?
- Enfin, pour montrer que S est connexe, les fameux ouverts U et V qui "ne doivent pas exister" (pour que ce soit connexe), ben c'est justement des ouverts U et V disjoints non vides tels que la réunion recouvre S. Donc non seulement ton truc ne prouve rien du fait que tu n'a pas pris deux ouverts quelconques U et V, mais en plus ça prouve encore moins que rien vu que tes deux ouverts ne recouvrent même pas C (donc ils n'ont pas le début du moindre rapport avec la connexité de C).