Connaitre l'équation correspondant à des relevés

[Bizerbat]

Bonjour,

Il m'arrive parfois à partir de relevés d'avoir besoin de connaitre l'équation (approximative) correspondante.
Par exemple, si j'ai f(1) = 1 et f(2) = 4 et f(3) = 6, je déduis que f(x) = 2x

Lorsque les cas deviennent plus compliqués, j'utilise Excel pour me produire une courbe de tendance, ce qui me convient généralement bien.

Toutefois j'ai aujourd'hui un relevé dont je ne sais pas vraiment qualifier la nature (linéaire, logarithmique, polynomial, exponentiel, etc.), et dont je n'arrive pas à trouver l'équation correspondante.

En effet, la courbe approximative devrait être :


Pour information, mes relevés sont les suivants :

• f(18) ≈ 11
• f(19) ≈ 15
• f(20) ≈ 19
• f(21) ≈ 22
• f(22) ≈ 24
• f(23) ≈ 26
• f(31) ≈ 39
• f(39) ≈ 47
• f(51) ≈ 55
• f(64) ≈ 60
• f(77) ≈ 61

Pourriez-vous me venir en aide en me donnant votre avis sur le "type" d'équation qui correspond au schéma ci-dessus, et en m'aiguillant vers une approche me permettant de déduire l'équation approximative correspondant à ces relevés ?
D'une manière générale, plus x est grand, plus le résultat "tend" vers 61.

Par avance, merci !

[Ben314]

Salut,
Personnellement, mon "leitmotiv" concernant ce type de question, c'est que je ne donne jamais un avis concernant une courbe uniquement au vue de quelques points qui la composent sans au préalable savoir à quelle situation "physique" ces point là correspondent.
Trés trés souvent (pour ne pas dire toujours), c'est le problème concret étudié qui "dicte" la famille de courbes dans laquelle on va chercher notre approximation.

Bref, ça correspond à quoi tes relevés ?

[Bizerbat]

Salut Ben314, et merci pour ta réponse très rapide !

Ces relevés correspondent à la distance entre le point « x » situé sur le diamètre d'un cercle et le point situé à l'intersection de la perpendiculaire au point « x » de ce diamètre et le cercle, plus un décalage.

Vu que je ne m'exprime pas très bien, voici un schéma qui illustre la situation représentée par les relevés ci-dessus :


La problématique que je cherche à résoudre ne se situe que pour un "quart" de cercle (ici, le quart en haut à gauche du cercle). C'est l'équation correspondant à cette portion de la courbe que je cherche à obtenir...
Enfin je crois.

[zygomatique]

salut

et tu connais quoi sur le cercle : centre ? rayon ?

parce que avec la géométrie ça se résout sans pb il me semble ...

[Ben314]

Si c'est ça le problème, ça signifie qu'en théorie tes données doivent vérifier une équation de la forme soit encore et je pense que le but est de déterminer des approximations des coordonnées du centre du cercle et du rayon au vue des données expérimentales.

Si c'est bien ça, en fait tu cherche tels que, pour tes valeurs expérimentales, on ait et, comme la formule est linéaire en on peut faire une régression linéaire par les moindre carrés pour déterminer .

Avec OpenOffice, on trouve comme centre (77,90 ; 0,56) et comme rayon 60,69.
Concernant les données, ca colle à peu prés :
18 ; 11 ; 10,33
19 ; 15 ; 15,19
20 ; 19 ; 18,75
21 ; 22 ; 21,67
22 ; 24 ; 24,19
23 ; 26 ; 26,43
31 ; 39 ; 39,08
39 ; 47 ; 47,14
51 ; 55 ; 54,96
64 ; 60 ; 59,63
77 ; 61 ; 61,24
Avec sur chaque ligne

[Bizerbat]

Bonjour zygomatique & Ben314 !

et tu connais quoi sur le cercle : centre ? rayon ?

Je peux potentiellement connaitre les coordonnées de son centre et son rayon dans le repère, oui.

parce que avec la géométrie ça se résout sans pb il me semble ...

Je pense également. J'ai essayé de résoudre ça de manière "numérique", mais dans les deux cas je n'y suis pas arrivé, atteignant les limites de mon raisonnement.

Ben314, je te remercie beaucoup pour le long poste que tu as écrit.
Au départ, je n'ai pas tout compris (certainement du fait que je suis moins à l'aise avec les math que toi)... Je me suis mis dessus hier soir et finalement j'ai compris ce que tu expliquais (avec une grand élégance, soit dit en passant). Ceci répond totalement au besoin que j'avais. Un grand merci à toi !

Je suis content de voir que la racine carrée est ce que ma courbe mentionnée plus haut suggère (Excel ne propose pas de courbes de tendances en racine carrée).

J'ai finalement retenu la formule qui correspond à la "vraie" formule derrière mes relevés une chtouille imprécis.

[zygomatique]

un tableur ne propose la fonction racine carrée (en régression) mais je voulais te la proposer aussi (ou ln qui semblait convenir aussi) ... via un changement de variable :

au lieu d'étudier la fonction x --> f(x) = y tu étudie la fonction x --> [f(x)] = gy^2

en l’occurrence ici g est la fonction carrée

ainsi en faisant une régression (ici quadratique) au nuage (x, y^2) le tableur doit te donner la même chose

quant à la résolution géométrique (faite par Ben314) ben ça dépend de ce que tu as comme données ....

[Ben314]

au lieu d'étudier la fonction x --> f(x) = y tu étudie la fonction x --> [f(x)] = gy^2
ainsi en faisant une régression (ici quadratique) au nuage (x, y^2) le tableur doit te donner la même chose

Faire gaffe quand même :
- Si le centre du cercle n'est pas sur l'axe des des x (i.e. ) alors y² n'est pas une fonction polynomiale de x.
- Si ce que tu appelle une "régression quadratique", c'est une approximation par un polynôme de degré 2, ça ne convient pas ici vu qu'on cherche certes un polynôme de degré 2, mais on en cherche un unitaire et pas un quelconque donc ce qu'il faut faire (dans le cas où on sait que ), c'est de chercher la droite (i.e. une régression affine "basique") telle que où .

[zygomatique]

oui effectivement ...