[L1] Coniques

par **benekire2** » 11 Juil 2010, 13:41

Bonjour,

En ce moment je travaille un peu sur les coniques et je vient de me heurter à un exercice que je n'arrive pas à résoudre :

Tracer la courbe orthoptique d'une parabole.

Alors bien sûr il s'agit de sa directrice, sauf qu'il faut le prouver ...

On prend un point M0 et on montre qu'il existe un point M1 tel que les tangentes en M0 et M1 sont orthogonales.
On se place dans un repère bien choisi où l'équation de cette parabole est y²=2px (avec les notations habituelles)
ainsi on trouve

et

on peut alors en déduire le point d'intersection des deux tangentes, qui a pour ordonnée

(obtenu en résolvant

)

Et donc là ... je bloque , je dois déterminer le lieu de ces points, sauf que c'est totalement immonde ce que je viens de trouver ...

Si quelqu'un peut m'aider , merci beaucoup !

par **Ben314** » 11 Juil 2010, 14:40

Déjà, le x1 me semble faux... : x1=y1²/(2p)=p^3/(2y0²)

Ensuite, je trouve
y=(y0+y1)/2=(y0²-p²)/(2y0)
x=y0y1/(2p)=-p/2

Edit : si, to x1 est O.K., mais je comprend pas le bordel que tu fout : il faudrait que tu exprime TOUT en fonction d'un seul truc (perso, vu que tu paramétrise ta parabole par x=y²/(2p), c'est à dire x=fonction(y), j'écrit TOUT en fonction de y0)

par **Nightmare** » 11 Juil 2010, 14:41

Salut,

je ne crois pas que les courbes "orthoptiques" (je viens d'apprendre ce que c'est en fait...) soient les premières choses à étudier quand on commence les coniques !!

Cela dit :

Je prends y=x² pour simplifier. Si (x,x²) est un point de la courbe par lequel on peut mener une tangente qui passe par un certain point (a,b), alors on a x²=2x²-2ax+b, ie x²-2ax+b=0 qui n'a de solution que si (a,b) est en dessous de la parabole (a² > b)

Deux points de la courbe conviennent d'abscisse respectives

et

.

Un point X sur la courbe orthoptique vérifie

(condition d'orthogonalité des tangentes portant sur leur coefficient directeur) qui donne b=-1/4 qui est bien, sauf erreur, l'équation de la directrice.

par **Ben314** » 11 Juil 2010, 14:46

Là où je confirme ce que dit Nightmare, c'est que je voudrais bien savoir quel est l'andouille qui a dit que l'écriture "standard" d'une parabole est de la forme x=fonction(y) : vu ce que tu cherche à faire, je partirait de y=ax².

par **benekire2** » 11 Juil 2010, 15:36

Salut à vous deux , et merci de votre réponse :id:

Enfait j'ai commencé les coniques, c'est vraiment frais, et j'avoue que c'est vachement vaste comme sujet et qu'il va falloir que je me fixe des "bornes" sinon je vais y passer un siècle ...

Ben ->> je vois pas du tout comment tu trouve ton x et ton y en fait , en exprimant tout avec y0 j'obtient , avec la parabole d'équation y²=2px :

ou encore

ce qui donne

C'est où que je plante ? Je vois pas comment t'as fait :mur:
Merci,

par **egan** » 11 Juil 2010, 16:50

Salut,
J'ai pas trop lu ce qui se passait avant dans le post mais il existe une méthode assez efficace pour déterminer l'orthoptique de toute conique.
Voilà les grandes lignes:
Soit C une conique et

un point du plan.
Soit

et

la droite de vecteur directeur

passant par

.
Un paramétrage de

est alors:

Soit M(x;y) un point de

.
Alors M appartient à C si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation de C. Tu simplifies un peu l'équation que tu obtiens. Tu obtiendras toujours un trinôme en t.

est une tangente à C si et seulement l'équation précédente n'admet qu'une seule solution, c'est-à-dire si et seulement si le discriminant de cette équation est nulle.
Tu obtiens cette fois un trinôme en

.
Tu te places dans le cas où en le point

il y a deux tangentes à C. Le trinôme précédent a alors deux solutions

et

qui sont les pentes de tes deux tangentes.
Ces deux tangentes sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leur pente est égal à -1 c'est-à-dire si et seulement

.
Et là tu ne calcules surtout pas ces deux tangentes. Tu utilises la propriété sur le produit des racines d'un trinôme.
Voilà.
Je pense que le mieu c'est que tu te tapes les calculs pour y=x^2 pour voir ce qu'il se passe et pour bien comprendre les équivalences qui trainent un peu partout.

par **Ben314** » 11 Juil 2010, 17:08

Bon, pour les calculs, ta parabole à pour équation

. Sa tangente en un point

est donc

qui donne

.
L'intersection des tangentes en

et

correspond à

qui donne

puis

.
Les tangente sont orthogonales lorsque le produit de leurs coeff directeurs fait -1 :

, c'est à dire

et il n'y a plus qu'à reporter.

La solution de Egan est bien sûr bien plus jolie et plus générale...

par **benekire2** » 11 Juil 2010, 17:23

D'accord, je vois mieux , en fait c'est moi qui a planté quelque part :cry:

donc le reste était faux après ...

Egan ->> Merci :++:

Sinon, j'ai un autre problème, toujours sur les coniques , et qui me prend sacrément la tête. C'est un "classique" paraît-il :

->> Montrer que si trois points (distincts) A,B et C sont sur une hyperbole équilatère alors l'orthocentre du triangle ABC appartient à cette hyperbole.

Alors déjà une hyperbole est équilatère ssi son excentricité vaut

Pour notre repère orthonormé on le prend sur les assymptotes de l'hyperbole et on voit que on peut se ramené à l'hyperbole d'équation xy=1
ainsi nos trois points sont (a,1/a) ; (b,1/b) et (c,1/c)
Il faut donc que je trouve les coordonnées de l'orthocentre du triangle ABC ...
Alors deux possibilités, j'ai commencé avec la méthode Hyper bourrin, qui consiste a calculer les équations cartésiennes des hauteurs et de trouver l'intersection ... mais c'est complètement immonde et imbuvable :mur:

Comment je peut faire ?

Merci (encore) !

par **Nightmare** » 11 Juil 2010, 18:00

Ta méthode me semble être correcte et pas si imbuvable que ça !

par **benekire2** » 11 Juil 2010, 18:16

Alors j'ai encore dû me compliquer la vie ...

vecteur AB (b-a,(a-b)/ab) vecteur AC (c-a,(a-c)/ac)

Donc la hauteur issue de C a pour équation ( pour un certain d ) (b-a)x+((a-b)/ab)y+d=0 et comme elle passe par c on a :

d=(a-b)c+(b-a)/abc
donc l'équation de cette hauteur est :
(b-a)x+((a-b)/ab)y+(a-b)c+(b-a)/abc=0

De même l'équation de l'autre hauteur est :
(c-a)x+((a-c/ac)y+(a-c)b+(c-a)/abc=0

Et je trouve personnellement que le système est particulièrement immonde ... ou alors je suis un flemmard :zen: ou sinon il y a mieux ... auquel cas je voudrais bien savoir ?

PS: Ah c'est toi nightmare :id: ton changement d'image m'a "perturbé" :++:

par **Ben314** » 11 Juil 2010, 18:29

Pour trouver l'équation de la hauteur issue de A dans le triangle ABC, on peut aussi écrire que

(produit scalaire) : ç'est quand même plus joli.

Il faudrait aussi constater que "ton" équation de la hauteur issue de C peut trés légèrement se simplifier par b-a....

par **Nightmare** » 11 Juil 2010, 18:29

Bon c'est bien parce que c'est toi que je fais les calculs, mais j'ai vraiment une grosse flemme de les faire :lol3:

hauteur issu de A :

et

De même pour la hauteur issu de B, on trouve par symétrie

Reste à résoudre

qui donne

puis

On a bien y=1/x

:happy3:

par **benekire2** » 11 Juil 2010, 18:32

Nightmare a écrit:Bon c'est bien parce que c'est toi que je fais les calculs, mais j'ai vraiment une grosse flemme de les faire :lol3:

C'est gentil :zen:
Du coup ben l'as fait aussi ...

Et j'avoue que je suis partit tel le bucheron, alors que j'aurais dû plus me poser et prendre le produit scalaire comme vous deux, ce qui est largement plus pratique ...

Merci :zen:

par **benekire2** » 14 Juil 2010, 22:11

Salut !

Je reviens à la charge ...
On me donne une courbe de représentation paramétrique :

x=t²+t+1
y=t²-2t+2

On me demande de reconnaître et caractériser cet ensemble ( qui doit être une conique ... )

Problème, j'ai juste apris a étudier les courbes paramétrés, là c'est différent , faut reconnaître le "genre" .

J'ai jamais fais de trucs dans le genre auparavant. Comment je dois faire ? Merci !!

par **Ben314** » 14 Juil 2010, 23:12

Bon, normalement, tu as sans doute du voir qu'une conique, c'est un truc qui a une équation cartésienne de la forme ax²+bxy+cy²+dx+ey+f=0 (ou alors tu as vu des cas particuliers)
Donc ici, vu que tu as des équations paramétriques, ben faudrait en déduire une équation cartésienne.
Méthode ?
En théorie, on peut toujours dire qu'on essaye d'isoler t=... dans une des deux equation puis qu'on substitue dans l'autre, mais c'est assez rare que ça marche directement donc la règle générale, c'est qu'on tripatouille un peu les deux équations pour finir par en avoir une qui dit t=? de pas trop compliquée (ensuite, évidement, on substitue dans l'autre équation)...

Ici, on pourrait écrire t=? en partant d'une des deux (c'est du second degré en t), mais ce n'est pas le plus malin car on se retrouve avec 2 possibilités pour t.
Je te laisse un peu chercher : c'est pas trés dur.

par **benekire2** » 14 Juil 2010, 23:18

en soustrayant les lignes : (x-y+1)/3=t et en remplacant je dois tomber sur la cartésienne . . . c'est assez con je dois avouer, surtout que j'ai fait EXACTEMENT la même chose avant pour passer des représentations paramétriques aux cartésiennes , pour les droites de l'espace ,

Cela dit je finirais les calculs demain matin !

Merci :we:

par **Ben314** » 15 Juil 2010, 00:05

Aprés, la question, c'est façe à une équation du type
ax²+bxy+cy²+dx+ey+f=0
est-ce que tu sait comment on s'y prend pour savoir à quoi on a affaire ?
La "théorie théorique" passe par le fait que toute matrice symétrique est diagonalisable dans une base orthonormée, mais en dimension 2, comme ici, on peut s'en sortir avec un peu de "cuisine" : en fait, LA difficultée, c'est de montrer que l'on peut éliminer le 'b' par une rotation du repère...

par **benekire2** » 15 Juil 2010, 11:26

Bah, après oui , je l'ai fait une ou deux fois, et je crois pas que ce soit réellement nécéssaire de le refaire ... surtout que c'est casse bonbons à un point ....

Mais pour éliminer le b , si a=c rotation de pi/4 sinon rotation de (arctan(b/(a-c)))/2 et après on change de repère ... c'est long et pénible .. et on se retrouve avec une équation sans b , après on continue avec une disjonction de cas a=0 c=0 ou ... ou ... ou .. bref , la misère :zen:

par **Ben314** » 15 Juil 2010, 11:49

benekire2 a écrit:Bah, après oui , je l'ai fait une ou deux fois, et je crois pas que ce soit réellement nécéssaire de le refaire ... surtout que c'est casse bonbons à un point ....

Mais pour éliminer le b , si a=c rotation de pi/4 sinon rotation de (arctan(b/(a-c)))/2 et après on change de repère ... c'est long et pénible .. et on se retrouve avec une équation sans b , après on continue avec une disjonction de cas a=0 c=0 ou ... ou ... ou .. bref , la misère :zen:

Eh oui, c'est souvent comme ça quand on connait pas la "théorie théorique"... :cry:

par **benekire2** » 16 Juil 2010, 16:53

Ici la "théorie théorique" c'est donc avec les matrices ?

Après le truc c'est que j'ai pas encore foutu grand chose ( juste logique, complexes, géométrie du plan et de l'espace, equa diff , applications, relations d'ordres, structures, courbes, coniques, ) et j'ai pas encore attaqué les "vraies" notions de première année ...

[L1] Coniques

[L1] Coniques

Qui est en ligne