Congruences

par **MC91** » 09 Aoû 2012, 19:51

Bonjour,

J'ai quelques questions sur les congruences qui doivent être très simples mais vu que c'est tout nouveau pour moi, je n'arrive pas à y répondre.

J'aimerai savoir pourquoi on peut dire :
si n est congru à 2 modulo 3, alors n^3 est congru à 2 modulo 3 (pour moi ce serait plutot 8 modulo 3)
si n est congru à 2 modulo 3, alors 2n est congru à 1 modulo 3 (pour moi ce serait plutot 4 modulo 3)

Merci pour vos réponses, car ça m'empeche de finir mon exercice.

A bientot.

par **Skullkid** » 09 Aoû 2012, 20:01

Bonsoir, ça repose sur une propriété à connaître (j'utilise le signe = pour la congruence) : si a = b modulo n et b = c modulo n alors a = c modulo n. 8 = 2 modulo 3 et 4 = 1 modulo 3, d'où la réponse à ta question.

À la fin d'un calcul de congruences modulo n, on aime bien mettre à droite du signe = un entier entre 0 et n-1.

par **MC91** » 09 Aoû 2012, 20:43

Skullkid a écrit:Bonsoir, ça repose sur une propriété à connaître (j'utilise le signe = pour la congruence) : si a = b modulo n et b = c modulo n alors a = c modulo n. 8 = 2 modulo 3 et 4 = 1 modulo 3, d'où la réponse à ta question.

À la fin d'un calcul de congruences modulo n, on aime bien mettre à droite du signe = un entier entre 0 et n-1.

A ok merci beaucoup ! C'est beaucoup plus clair maintenant, et pas si compliqué quand on a compris :lol3:

Bonne soirée, à bientot.

par **MC91** » 09 Aoû 2012, 20:50

Ca peut aussi s'expliquer par la division euclidienne, non? Car dans l'exemple, je remarque que 1 est le reste de 4 divisé par 3. Meme chose pour 8 divisé par 3 qui donne 2.

par **Doraki** » 09 Aoû 2012, 21:49

Par définition, deux nombres sont congrus modulo 3 si et seulement si leur différence est multiple de 3.

Par exemple, 8-2 = 6 = 3*2 est un multiple de 3, donc 8 est congru à 2 modulo 3.
De même, 13-(-5) = 18 = 3*6 est un multiple de 3, donc 13 est congru à -5 modulo 3.

Il est effectivement vrai que deux nombres sont congrus modulo 3 si et seulement si ils ont le même reste dans la division euclidienne par 3. Mais personnellement je préfère utiliser la définition.

par **MC91** » 10 Aoû 2012, 09:12

Doraki a écrit:Par définition, deux nombres sont congrus modulo 3 si et seulement si leur différence est multiple de 3.

Par exemple, 8-2 = 6 = 3*2 est un multiple de 3, donc 8 est congru à 2 modulo 3.
De même, 13-(-5) = 18 = 3*6 est un multiple de 3, donc 13 est congru à -5 modulo 3.

Il est effectivement vrai que deux nombres sont congrus modulo 3 si et seulement si ils ont le même reste dans la division euclidienne par 3. Mais personnellement je préfère utiliser la définition.

D'accord, merci pour ces précisions.
Bonne journée

par **MC91** » 10 Aoû 2012, 09:56

J'aurai encore une petite question ...

Dans un exercice, on me demande de prouver que la différence des cubes de deux entiers naturels consécutifs n'est pas divisible par 5.

Dans la correction, on suppose n=0 modulo 5, puis on fait des calculs pour obtenir la différence des cubes=1 modulo 5.

On fait de même avec n=1 modulo 5.... jusqu'à n=4 modulo 5.

Dans mon cours, il est écrit que lorsque a=b modulo n, a et b sont dans Z.

Pourquoi ne fait on pas dans l'exercice l'hypothèse que n=-1 modulo 5 par exemple?

par **Le_chat** » 10 Aoû 2012, 10:19

parce que -1=4 modulo 5.

par **MC91** » 10 Aoû 2012, 11:00

Le_chat a écrit:parce que -1=4 modulo 5.

Ah oui ok ! Merci beaucoup !

par **eratos** » 10 Aoû 2012, 12:34

la différence des cubes de deux entiers naturels consécutifs

La preuve, on peut aussi la faire par récurrence? (je comprend pas vraiment la tienne edit: c'est bon =))

Soit P(n) la proposition 5 ne divise pas la différence des cubes de deux entiers consécutifs.(5X

). (ou X est "ne divise pas")

Si n=o on a 5 X 1 car seul 1 divise lui même dans N.
Supposons la proposition vrai pour n-1. Alors

c'est à dire

Par contre-apposition (d'une petite propriété, qui dit que si un entier divise deux autres entiers il divise aussi leurs somme)...

et

.

Comme

=

, ce n'est pas divisible par 5 donc P(n-1) implique P(n). Et c'est fini.

Est-ce que c'est bon?

par **Doraki** » 10 Aoû 2012, 14:29

Non, la contraposée de "si 5 divise a et b alors 5 divise a+b", c'est "si 5 ne divise pas a+b alors 5 ne divise pas a ou 5 ne divise pas b (ou les deux)". Or toi tu as dit que 5 ne divisait ni 3n² ni 3n (ni 1).
ce qui est bien sûr faux par exemple lorsque n=5.

par **eratos** » 10 Aoû 2012, 14:43

Doraki a écrit:Non, la contraposée de "si 5 divise a et b alors 5 divise a+b", c'est "si 5 ne divise pas a+b alors 5 ne divise pas a ou 5 ne divise pas b (ou les deux)". Or toi tu as dit que 5 ne divisait ni 3n² ni 3n (ni 1).
ce qui est bien sûr faux par exemple lorsque n=5.

ah ouais j'ai oublié la négation du "et" :triste:
merci=)

par **MC91** » 10 Aoû 2012, 20:25

Bonsoir,

J'aurai encore une petite question sur les congruences.
Est ce que modulo 0 existe?

par **eratos** » 10 Aoû 2012, 20:38

MC91 a écrit:Bonsoir,

J'aurai encore une petite question sur les congruences.
Est ce que modulo 0 existe?

Si b - a est non nul
a=b[0]? --> 0|b-a --> il existe un c de Z tel que 0.c=b-a. impossible.

par **MC91** » 10 Aoû 2012, 20:43

eratos a écrit:Si b - a est non nul
a=b[0]? --> 0|b-a --> il existe un c de Z tel que 0.c=b-a. impossible.

Mais si on prend a et b dans Z, sans conditions particulières, modulo 0 existe bien dans ce cas?
C'est juste qu'on trouve b=a, ce qui nous sert pas à grand chose...

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