Congruence

[siou]

Je dois demontrer par recurrence que n^p est congru à n modulo p pour tout n superieur ou egal à 1 et p un entier premier superieur ou egal à 7
J'arrive à le montrer au rang n=1 et p=7 mais apres au rang n+1 je bloque
Quelqu'un peut-il m'aider?

[Anonyme]

Google => "Théorème de Fermat"

[thomasg]

tout d'abord ce théorème (le petit théorème de fermat est vrai a partir de p=2

Ensuite je n'ai pas réfléchi a un raisonnement par récurrence, mais voici une preuve directe:

On travaille dans le groupe des unités (éléments inversibles) de Z/pZ (C'est que l'on utilise le fait que p est premier)
Ce groupe possède p-1 éléments (tous les éléments sauf zero)
On considère ensuite le sous groupe engendré par n. Le cardinal de ce sous-groupe (l'ordre de n) divise l'ordre du groupe de des unités.
Donc l'ordre de n divise p-1.
Donc n^(p-1) est congru à 1 modulo p.
Donc en multipliant de part et d'autre par n, on obtient
n^p est congru à 1 mod p.

au revoir

[imo]

pour la reccurence , utiliser le fait que k| pCk pour tout k dans {1,2...p-1} :D