Avez vous des pistes, indications car je ne sais vraiment pas comment m'y prendre.
Soit P(x)=somme de k=0 jusqu'a d de CkX^k un polynome a coef entier de degré d.
Soit p un nombre premier.
On suppose qu'il existe un entier a appartenant a Z tq : P(a) congru a 0 mod p
et P'(a) n'est pas congru a 0 mod p .
1. Montrer que si x, t appartiennent a Z et s appartient a N* alors on a :
P(x+tp^s) congru a P(x)+tp^sP'(X) mod p^(s+1)
2.Montrer que si x appartient a Z et s appartient N* satisfont P(x) congru a 0 mod p^s
et P'(x) n'est pas congru a 0 mod p, alors il existe y appartenent a Z tel que :
P(y) congru a 0 mod p^(s+1) et y congru a x mod p^s.
Montrer de plus que la classe de residu de y modulo p^s+1 est unique.
3.Montrer qu'il existe une suite d'entiers (xn) telle que x1=a, P(xn) congru a 0 mod p^n et
xn congru a x(n+1) mod p^n pour tout n appartenant a N*.
Merci beaucoup pour votre aide
