Congruence nombre premier exo

[Françoisdesantilles]

Bonjour, j'envoi ce message pour savoir si quelqu'un pouvais résoudre l'exo 1 avec une autre méthode que celle proposé dans le corrigé svp?

Exercice 1: Montrer que si $p$ est un nombre premier, , alors .
Exercice 1 corrigé en image :
https://ibb.co/Nx9nc8q


( c'est l'exo 2 qui parait moins difficile, et l'exo 1 c'est long visiblement).

L'exo 2 je l'ai commencé je crois que la méthode utilisé est la seule méthode :
Exercice 2 : 1. Soit et tels que :
a. Montrer qu'il existe deux entiers naturels p et q tels que : et
b. En déduire que p=q-p=1 Que vaut alors n ?
2. Pour quelle(s) valeur(s) de est-il un carré?
Ce que j'ai pû dire pour l'exo 2:
si 2^n+1=m²
alors 2^n=m²-1
d'ou 2^n =(m+1)(m-1)
il y a donc deux solutions à cette équation.
On peut donc en déduire que 2^n =2^p*2^q =(m+1)(m-1) d'où m=2^q-1 =2^p+1 avec p+q=n.
pour l'instant je n'ai pas pu dire plus de chose que cela

[Ben314]

Pour le 1), il n'y a pas vraiment d'autre méthode, surtout que c'est très court et très élémentaire (s'il ne se perdait pas en tergiversation, ça ferait 2 lignes).
A la limite, mais c'est quasi la même chose, je peut te proposer ça :
Vu que n'est divisible ni par , ni par c'est qu'il est de la forme donc où et sont de parité différentes donc leur produit est pair et est divisible par 24.

Sinon, là :

d'ou 2^n =(m+1)(m-1)
il y a donc deux solutions à cette équation.

je comprend franchement pas comment tu fait pour en déduire directement que l'équation admet deux solutions . . .
Moi, tout ce que j'en aurait déduit (dans un premier temps), ben c'est le résutat de la question 1.a.

[catamat]

Bonjour

Pour le1b) de l'exo2

On a avec q>p
c'est équivalent à : (E1)

Donc divise 2 c'est donc 1 ou 2 mais 1 est impossible car m serait pair ce qui impossible d'après l'équation de départ.
Donc et donc p = 1
de plus l'autre facteur de (E1) est égal à 1 donc et finalement q-p=1.

[Françoisdesantilles]

Pour le 1), il n'y a pas vraiment d'autre méthode, surtout que c'est très court et très élémentaire (s'il ne se perdait pas en tergiversation, ça ferait 2 lignes).
A la limite, mais c'est quasi la même chose, je peut te proposer ça :
Vu que n'est divisible ni par , ni par c'est qu'il est de la forme donc où et sont de parité différentes donc leur produit est pair et est divisible par 24.

Sinon, là :

d'ou 2^n =(m+1)(m-1)
il y a donc deux solutions à cette équation.

je comprend franchement pas comment tu fait pour en déduire directement que l'équation admet deux solutions . . .
Moi, tout ce que j'en aurait déduit (dans un premier temps), ben c'est le résutat de la question 1.a.

Bonjour , merci pour l'exo Ben, je trouvais ça bizarre que la réponse soit aussi longue.
Pour l'exo 2 , je me suis emballé, car 2^n est différent de 0.
Cet exo est faisable globalement, , si j'ai des question je les posterai.
Bonnes fêtes à toi Ben!