Congruence et Indicatrice d'Euler

[marievlan]

Bonjour,

On sait que si p et q sont deux premiers distincts et n = 1 mod (p-1)(q-1) alors x^n = x mod pq.

On doit en déduire que si x^5 = 2 mod 14 alors x = 2^5 mod 14. Mais je n'y arrive pas...

Le début de l'exercice traitait de l'indicatrice d'Euler....

Si quelqu'un peut m'aider.....!!!!

Merci d'avance !

[Skullkid]

Bonsoir, pour utiliser la proposition que tu donnes en début de post, il va falloir trouver des valeurs astucieuses de n, p et q qui vont répondre à la question posée.

Quels choix vois-tu pour p et q ? Une fois p et q choisis, regarde parmi les entiers n congrus à 1 modulo (p-1)(q-1) s'il y en a un qui est intéressant par rapport à ton hypothèse x^5 = 2 mod 14.

[sweeneytodd]

D'une part, on a 25 = 1 mod (7-1)(2-1) => x^25 = x mod 14.

D'autre part, comme x^5 = 2 mod 14 par hypothèse, il vient (x^5)^5 = 2^5 mod 14, c'est à dire x^25 = 2^5 mod 14.

De x^25 = x mod 14 et x^25 = 2^5 mod 14, on tire x = 2^5 mod 14.

[marievlan]

Merci beaucoup !