Congruence équation résolution

[btssio]

EX 1.46 Mathématique pour l'informatique BTS SIO Edition 2

Soit E = {1;2;3;4;5;6}
a) Vérifier que pour chaque élément a de E, il existe un élément b de E tel que ab congruents 1[7].
On dit que b est l'inverse de a modulo 7.

b) Résoudre l'équation 3x congruents 4[7}. Donner l'ensemble des solutions entre 100 et 140.

Alors en regardant la réponse, j'ai "compris" le 'a' par contre le b, je ne comprends pas pourquoi "fois 5":
3x congruents 4[7] donne 5 * 3x congruents 5 donne x congruents 6[5].
merci

[infernaleur]

Salut,

Quand tu as une équations dans , par exemple .
Pour la résoudre ce que tu as appris à faire c'est de multiplier à gauche et à droite par :
.
Ce on dit que c'est l'inverse de 3 dans pour la multiplication car .


Donc t'aimerais bien faire la même chose pour ton équation .
MAIS, ici on est pas dans le cadre d'une équations dans les réels comme tu l'as appris à faire.
L'inverse d'un nombre ne sera pas le même si tu résout ou .
Donc on a pas le droite de multiplier par dans pour faire "bouger le 3".


Et c'est pour ça que tu as la question a) qui te dit que pour n'importe qu'elle nombre entre 0 et 6 tu peux trouver son inverse MODULO 7.
Par exemple comme donc on dira que 2 est l'inverse de 4 MODULO 7 (la multiplication de 2 par 4 donne 1 modulo 7).
Ou encore comme alors 6 est l'inverse de 6 MODULO 7 .


Donc si tu doit résoudre , tu va multiplier par l'inverse de 2 MODULO 7 à gauche et à droite (c'est-à-dire 4) ce qui donne : soit (car )

Ou encore si tu doit résoudre tu va multiplier par l'inverse de 6 MODULO 7 à gauche et à droite : soit

[btssio]

Merci de ta réponse. J’étudierais cela demain.

[btssio]

blabla

Salut, merci pour l'explication. J'ai compris le a) et en partie le b).
J'ai deux interrogations :
3x * 5 congruent 4[7] * 5
J'ai bien vu qu'en principe, tu mettais directement x d'un coté et que de l'autre tu faisais 4*5=20-(7*2)=6[7]
Mais par contre je ne comprends pas la logique derrière et je fais juste du copier coller.
Comment tu arrive avec uniquement x à droite ?

Deuxième question, pour la dernière partie de la question b), y-a t-il une méthode pour éviter de tester les 40 possibilités ? car actuellement je fais cela:
100/7 = 14 100-(7*14)=2 donc pas 6[7], je passe à l'autre...
104/7 = 14 104-(7*14)=6 donc 6[7] ok...

Merci

[Ben314]

Salut,

J'ai bien vu qu'en principe, tu mettais directement x d'un coté et que de l'autre tu faisais 4*5=20-(7*2)=6[7]

Tant que tu raisonnera en terme de "je met ça de tel coté" ou "je fait passer je sais pas quoi à tel endroit" où toute expression de ce type, ben tu ira droit dans le mur.

Donc, on revient au collège pour y (re)voir comment on résous une équation du premier degré :
3 X + 9 = 5 X + 1
9 = 5 X + 1 - 3X en retranchant 3 X des deux cotés
9 = 2 X + 1 en calculant 5 X - 3 X = 2 X
9 - 1 = 2 X en retranchant 1 des deux cotés
8 = 2 X en calculant 9-1=8
8 / 2=2 X / 2 en divisant par 2 des deux cotés, c'est à dire en multipliant par 1/2 des deux cotés
4 = X en calculant 8 / 2 = 4 et 2 X / 2 = X
Et le bilan, c'est qu'on ne fait absolument jamais "passer" quoi que ce soit où que ce soit : on ne fait que ajouter/soustraire/multiplier/diviser par la même quantité les deux cotés de l'équation.

Et sur les congruence, c'est quasiment la même chose : on peut ajouter , soustraire ou multiplier les deux cotés d'une équation par quelque chose. Par contre, on ne peut pas diviser (en tout cas, pas à ton niveau) et il faut remplacer ça par une "multiplication par l'inverse" exactement comme pour la division par 2 çi dessus qu'il faut écrire comme une multiplication par 1/2, c'est à dire par l'inverse de 2.

Bref, partant par exemple de 2X = 3 [7], tu multiplie des deux cotés par l'inverse de 2 modulo 7, c'est à dire 4 et ça te donne 42X = 43 [7] et vu que 4 est l'inverse de 2 modulo 7, ça signifie que 42 = 1 [7] et donc que 42X = 1X = X [7]

[Ben314]

Sinon, concernant l'autre question, une fois que tu as X = 6 [7], ça signifie que X = 6 + 7 k avec k entier (relatif) et, pour avoir 100 < X < 140, il faut que 100 < 6 + 7 k < 140 c'est à dire 94 < 7 k < 134 (en retranchant 6 partout) soit encore 94/7 < k < 134/7 (en divisant par 7 partout) donc 13,4 < k < 19,1 ce qui signifie que les valeur possibles pour k sont 14, 15, 16, 17, 18 et 19.

[btssio]

Sinon, concernant l'autre question, une fois que tu as X = 6 [7], ça signifie que X = 6 + 7 k avec k entier (relatif) et, pour avoir 100 < X < 140, il faut que 100 < 6 + 7 k < 140 c'est à dire 94 < 7 k < 134 (en retranchant 6 partout) soit encore 94/7 < k < 134/7 (en divisant par 7 partout) donc 13,4 < k < 19,1 ce qui signifie que les valeur possibles pour k sont 14, 15, 16, 17, 18 et 19.

Merci pour l'explication !