Confusion approximation loi binomiale & application TCL

[maureenp]

Bonjour à tous

Je suis actuellement en train de réviser mes partiels
J'ai donc repris l'un de mes contrôles continus en Statistiques Probabilités et j'ai du mal à comprendre certaines choses.

Voici l'énoncé:
30% des espagnols vivent en ville.

1) Avec quelle probabilité un échantillon de 100 espagnols contient-il au plus 20% de citadins ?
2) Quelle est la taille de l'échantillon contenant de 28 à 32% de citadins avec 8 chances sur 10?

Mon problème est que lors du contrôle j'ai interprété cet énoncé comme une approximation de la loi binomiale par la loi normale.
J'ai donc répondu la chose suivante :
X suit une loi binomiale (100 ; 0,3)
On peut approcher la loi binomiale par un loi normale car
n > 20
np > 5
nq > 5
J'ai donc approché la loi "binomiale" par une normale.

Or, il se trouve qu'il fallait considérer les 30% d'espagnols comme une proportion et faire une application du TCL et raisonner comme cela :
La proportion F de citadins dans un échantillon de taille n est approximativement distribuée selon N (0, 3; 0, 21/n) et ensuite résoudre le cas.

Mon problème est que je ne comprends pas POURQUOI il faut raisonner comme cela ?
Dans ce cas là, comment repérer une loi binomiale dès le premier coup pour éviter de faire des erreurs comme ça ?

Je vous remercie d'avance :help:

[zygomatique]

salut

parce qu'on fait de l'échantillonnage sur une population dont on en connaît que la proportion vérifiant un caractère donné (ici c'est "habite en ville")

donc on applique la loi d'échantillonnage de la proportion pour des échantillons de taille 100 (via leTCL)

[maureenp]

Bonsoir & merci de votre réponse

Mais dans ce cas là, comment puis-je faire pour dissocier le cas où on applique le TCL & le cas où on fait une approximation de la loi binomiale par une loi normale ?

[zygomatique]

tu ne cherches pas à compter combien .... parmi les 100 tu cherches une fréquence et comment elle varie ....

[Ben314]

Salut,
Je suis plus que nul en Stat, mais j'aimerais bien comprendre :
Si on prend un échantillon de n (assez grand) personnes et qu'on dit que le nombre de citadins X suit une binomiale B(n ; p) avec p=0.3, sauf erreur, lorsqu'on l'approxime par une loi normale, c'est par N( np ; np(1-p) ) et on se retrouve avec la fréquence (à savoir X/n) qui suit une loi normale N( p ; p(1-p)/n ) a savoir... exactement la même chose que "ce qu'il fallait considérer"...

Quelqu'un peu m'expliquer où réside la différence entre les deux point de vue ?

[zygomatique]

si X suit B(n, p) et qu'on approxime B(n, p) par N(m, s^2) avec m = np et s^2 = np(1 - p)

et soit Y suivant N(m, s^2)

ce qu'on calcule toujours c'est P(Y < k) P(X < k)

ici ce qui est demandé c'est P(f < 0,2) ou trouver n lorsque P(0,28 < f < 0,32) = 0,8

où f suit N(m/n, s^2/n) = N(p, p(1 - p)/n)


ce qui est faux c'est

J'ai donc approché la loi "binomiale" par une normale.

ce me semble-t-il ....

[Ben314]

Ben.... je comprend toujours pas bien où réside la différence... (dans les deux cas, tu tombe bien EXACTEMENT sur la même chose non ?)

[zygomatique]

la loi de Y approximant B(n, p) est N(np, s^2)

la loi de f est approximativement N(p, s^2/n^2)

ce n'est pas tout à fait les même ....

[Ben314]

Ben... je comprend... de moins en moins...
Moi, il me semblait me souvenir que, comme je l'ai mis dans mon premier post., si Y suit une N(np , s²) alors Y/n suit une N(p,s²/n²). C'est pas le cas ?
Par ce que, si c'est le cas, le résultat est exactement le même que tu passe par l'approximation de la binomiale ou par le théorème central limite et j'ai bien du mal a comprendre qu'on ait pu lui compter "faux"...

[zygomatique]

dans une certaine mesure je suis d'accord .... mais comme on distingue la loi d'échantillonnage de la moyenne et la loi d'échantillonnage de la fréquence (qui est un cas particulier de la première en fait avec les bons paramètres) je pense qu'on attendais plutôt ce point de vu (via le TCL) et appliquer le modèle adéquat ....

il me semble que le pb est de savoir ce que veut dire ce

J'ai donc approché la loi "binomiale" par une normale.

et ce qui a été exactement répondu ....

[maureenp]

Bonsoir,

En fait, pour répondre à cette question, mon raisonnement a été le suivant.
X suit une loi binomiale de paramètre B(100 ; 0,3 )
La loi binomiale peut être approchée par une loi normale si les conditions suivantes sont remplies :
n > 20 (dans ce cas : 100)
n x p > 5 (ici, 30)
n x q > 5 (ici, 70)

La question est :
Avec quelle proba un échantillon de 100 espagnols contient-il au plus 20% de citadins?
donc P (X < 20)
par approximation
P (X < 20,5)
Désormais
X suit une loi normale de paramètre N(30 ; 21)
30 = n x p
21 = n x p x q
ensuite
P (X < 20,5) = Π (20,5 - 30)/√21
= Π (-9,5) / √21
= 1 - Π(9,5) / √21
= 1 - Π(2,07)
= 0,0192
La probabilité que l'échantillon contienne au plus 20% de citadins est de 1,92%

En réalité, il fallait raisonner comme cela: (correction du prof)
La proportion F de citadins dans un échantillon de taille n est approximativement distribuée selon N (0, 3; 0, 21/n).
Comme X1, . . . , Xn est un échantillon aléatoire de la loi de Bernoulli de paramètres p = 0, 3, on déduit du TCL que F est approximativement distribuée selon une loi normale de moyenne : E(Xi) = 0, 3 et de variance V (Xi)/n = 0, 21/n
On suppose n = 100 : P(F ≤ 0, 2) = P(N (0, 3;0, 21/100) ≤ 0, 2) = φ((0, 2 − 0, 3)/√0, 21/100) = 1 −φ(10/√21) ≈ 0, 015.
Il y a 1, 5% de chances qu’un échantillon de cent espagnols comporte au plus 20% de citadins.

Ma réponse était donc fausse. Pourtant, les résultats sont "proches".

Mon gros problème, c'est surtout de comprendre pourquoi on applique le TCL et pas une binomiale parce que j'étais convaincue que c'était une binomiale. . .

[Ben314]

Et je rajouterais même que la SEULE différence entre les deux résultat provient du fait que "par approximation" tu es parti sur P(X<20.5).
Si tu était resté bêtement sur P(X<20) les mêmes calculs que ceux que tu as fait auraient conduit à P(X<20)= 1 - Π(10 / √21) c'est a dire très exactement au même résultat que la correction.

Et personnellement (donc ça n'engage que moi), j'aurais tendance à penser que, vu que les fréquences suivent en fait une loi discrète de "pas" 1/n=1/100, ton résultat qui tient compte de ce coté discret est plus proche de la "réalité" que celui de la correction.
En particulier,en utilisant la méthode de la correction, on obtient P(F <= 0,2) + P(F >= 0,21) différent de 1 alors que cette proba est bien évidement égale à 1.