Conditionnement et esperance conditionnelle

[requiem]

Bonjour à tous,
Je suis sur un petit exo de probas et je voudrais votre avis:
On étudie la durée du travail chez les salariés à temps complets X la durée total pour un salarié, et Z=0 si le salarié n'a pas subi de chomage partiel et Z=1 si oui. On a deux variables, Z~~B(1,p) et X, on sait que la loi de X sachant Z=0(resp Z=1) admet pour densité f0 (resp f1).

1)calculer la densité de X. Puis en déduire la loi conditionnelle de Z sachant X.

Pour ça j'ai juste calculer la fonction de répartition et dérivé. Je trouve fx = (1-p)f0 + pf1. pour la loi conditionnelle de Z je ne sais pas.

2) f0 et f1 admettent des espérances µ0 et µ1 et des variance t0² et t1². Calculer ÊX|Z et ÊZ|X au moyens de p, µ0, µ1, t0² et t1²

Je me tâte à savoir si il faut calculer la loi de couple XZ pour avoir cov(X,Z) dans la formule de la reg.


3) Dans certains cas l'individu ne répond pas à la question du chômage partiel, on observe donc pas Z. On approxime Z par M ne prenant que des valeurs 0 et 1 et fonction de la valeur de durée X. Cette approximation est définie au sens de la norme dans L². On cherche M=1B(X) (indicatrice de B en X), ou B est une partie de R à déterminer de telle sorte que M réalise le minimum de (||1B(X)-Z||2)² quand B décrit R. déterminer la partie B conduisant à la variable Z optimale. Exprimer B au moyen de p, f0 et f1.

La je suis preneur...

merci à tous ceux qui ont eu la patience de lire jusque là

[Finrod]

Il me semble que tu as besoin de la loi du couple, oui.

Pour la 3, la la loi du couple permet de calculer la norme 2, qui est la racine de l'espérance du carré de la fonction 1B(X)-Z.

Je suppose que l'énoncé demande de choisir B comme étant un intervalle connexe, sinon il y a une infinité de solutions.