Concours ITPE interne de math

[metnems]

Pouvez vous m'aider à résoudre les questions I.3 et I.4 :

[url="http://img250.imageshack.us/my.php?image=photo002lg7.jpg"][/url]


merci

[emdro]

Bonjour,

tu es certain de ton exp(bt) ?
Il ne figure que dans le membre de gauche?

NB: Si exp(bt)[A cos(a(t+T))+B sin(a(t+T)]= A cos(at)+ B sin (at), alors
exp(bt)= [A cos(at)+ B sin (at)]/[A cos(a(t+T))+B sin(a(t+T)] (lorsque le dénominateur ne s'annule pas;
A droite tu as une fonction périodique, à gauche non. Il y a un problème.

[metnems]

oui en effet c'est bien exp(bT) :marteau:

[emdro]

C'est mieux ainsi...

a tout hasard, si tu prends A=B=0, cela ne te plaît pas?

Autre question: quid de T? Il est fixé?

[emdro]

Dans l'expression cherchée,
exp(bT)[A cos(a(t+T))+B sin(a(t+T)]= A cos(at)+ B sin (at),

tu vois bien que les fonctions
t->[A cos(a(t+T))+B sin(a(t+T)]
t->[A cos(at)+B sin(at)]
sont les mêmes à un déphasage près.

elles ont donc les mêmes maximums et minimums.
or dès que bT sera différent de 0, exp(bT) sera différent de 1, et les extrema de:
t->exp(bT)[A cos(a(t+T))+B sin(a(t+T)]
seront différents de ceux de t->[A cos(at)+B sin(at)] ...

...sauf si ceux-ci sont nuls.

Donc la seule solution me semble bien A=B=0. :happy2:

[metnems]

A=B=0 çà ne me plait pas trop lol !

Je dois avoir un probleme de compréhension de l'énoncé. Je mets le texte total.

a et b réels

y"-2by'+(a²+b²)y=0
SG de la forme : y=(A cos (at) + B sin (at)) exp (bt)

I.3 Donner une condition nécessaire et suffisante qui porte sur a et b pour que l'équa diff admette des solutions paires et non nulles :

b=0 car y:x-->exp(x) n'est pas paire, et a différent de 0 car A cos (at) + B sin (at) = C cos (at-phi) mais je ne suis pas sûr du tout


On cherche les valeurs de a et b (réels) de cette équation diff pour que ses solutions soient périodiques non nulles.

I.4.a Supposons qu'elle admette une solution y non nulle, périodique de période T. Montrer que a est non nul.

par l'absurde si a=0 alors y=A exp(bt) qui n'est pas périodique.

Maintenant pour la suite on suppose que a est non nul

I.4.b Montrer qu'il existe 2 réels A et B tels que :

quelque soit t € R,

exp(bt)[A cos(a(t+T))+B sin(a(t+T)]= A cos(at)+ B sin (at) et là je ne vois pas !


La solution doit etre A=1 et B=0 car c'est ce qui est pris pour la suite.

La question suivante étant la détermination de a et b ce qui amene à partir sur la fonction y=exp(-x) cos x

[metnems]

et si on prend que y est périodique de période T on arrive à un truc
A cos at + B sin at = exp(bT) (A cos at +B sin at)

soit A e(bT) = A soit A(1-ebT)=0 donc A=0 :hum:

[emdro]

Désolé, j'étais au téléphone!

I3 Fais attention t->C cos (at-phi) ,n'est paire que si phi=0 modulo pi.
L'énoncé n'est pas très clair: si on veut qu'il existe une solution paire non nulle, il suffit que b=0 et on prendra B=0.

I4b, Si la solution est périodique, il faudra b=0. C'est ce qu'on te demande de démontrer: on est sous l'hypothèse: il existe une solution non nulle périodique de période T, et a différent de 0.
Dans le cas général, ta solution exp(bt)[A cos(a(t+T))+B sin(a(t+T)] n'est pas périodique. Si on veut qu'elle le soit, c'est que le b=0, et on peut bien l'écrire sous la forme A cos(a(t+T))+B sin(a(t+T)) ou A cos(at)+ B sin (at) (par périodicité, ce qui te permet de déterminer T=2pi/a).
Tu ne crois pas que c'est plutôt ça?

Edit: je viens de voir ton sujet entier; j'ai peu de temps dans l'immédiat. J'essaie de regarder en détail ce soir.

[emdro]

Ne regarde pas trop la suite pour en déduire que b=-1:

Dans la question I4, on cherche une solution périodique
La fonction qu'on étudie à partir de I5 n'est pas périodique.
Donc les questions I4 et I5 sont indépendantes.

[metnems]

L'énoncé n'est pas très clair: si on veut qu'il existe une solution paire non nulle, il suffit que b=0 et on prendra B=0.

Ouais çà me choc car normalement on ne doit pas toucher à B.

I4b, Si la solution est périodique, il faudra b=0. C'est ce qu'on te demande de démontrer: on est sous l'hypothèse: il existe une solution non nulle périodique de période T, et a différent de 0.
Dans le cas général, ta solution exp(bt)[A cos(a(t+T))+B sin(a(t+T)] n'est pas périodique. Si on veut qu'elle le soit, c'est que le b=0, et on peut bien l'écrire sous la forme A cos(a(t+T))+B sin(a(t+T) ou A cos(at)+ B sin (at) (avec d'autres A et B), ce qui revient au même.

Tu ne crois pas que c'est plutôt ça?

Edit: je viens de voir ton sujet entier; j'ai peu de temps dans l'immédiat. J'essaie de regarder en détail ce soir.

Oki pas de soucis.

Oui mais les choses ne sont pas présentées comme çà. La encore ils demandent de déterminer A et B ... et non pas a et b.

[emdro]

Ca y est, je crois que j'ai compris l'esprit de la question:
la solution s'écrit:
f(t)=exp(bt)[A cos(at)+B sin(at)]

Elle est périodique de période T <=>
f(t+T)=f(t)<=>
exp(b(t+T))[A cos(a(t+T))+B sin(a(t+T)]=exp(bt)[A cos(at)+B sin(at)]<=>
exp(bT)[A cos(a(t+T))+B sin(a(t+T)]=[A cos(at)+B sin(at)]

en simplifiant par exp(bt).

Voilà ce qu'on te demandait d'écrire.

et par la suite tu vas prouver que b=0, et que T=2pi/a.

OUF :happy2: :happy2: :happy2:

[metnems]

Je suis encore d'accord avec toi ! Je l'avais déjà fait mais du coup çà donne pas vraiment de critère de sélection de A et B !!
Puisque n'importe quel A et B marche ! :ptdr: (c plus la tete qui tourne sur elle meme que le rire)

[emdro]

Quand on résout l'équation, on dit:
Il existe A et B tels que f(t)=...
Si en plus on veut que f soit périodique, on obtient bien:
Il existe A et B tels que f(t+T)=f(t).

C'est pour cela que le "il existe A et B" subsiste, mais on ne te demandait pas de trouver A et B.

Pour la question suivante, il te suffit d'écrire que le déterminant du système en A, B obtenu est nul.

[emdro]

Bilan des courses: c'est super mal posé, ce problème!

bonne journée!

[metnems]

oki merci de ton aide tu m'as montré le chemin.
J'essayai de comprendre (moi j'aurais mis : montrer que quelque soit A et B)
En ce moment je lutte plus avec les énoncés qu'avec le reste ...

[lfuine]

Bonjour,

Est ce que vous pouvez m'aider pour l'équation polaire et son étude svp.
J'ai essayé de le faire mais je trouve un résultat un peu bizarre.

[lfuine]

voici ce que j'ai fait mais je n'arrive pas la partie d'etude de la courbe ne polaire. Déjà est ce que l'équation en polaire est-elle juste ? pouvez vous m'aider ?
Merci