Concours des Mines

[frolonais]

Bonjour,

je suis en train de faire un annale de concours et je suis bloqué par une question.
La fonction traitée est : 1/(x^2-1)-a/(x^3-1) et l'on me demande de déterminer la limite à gauche et à droite de 1.

J'étais parti sur une mise en dénominateur commun et un tableau de signe mais je bloque avec le polynome du numérateur ... si c'est la bonne orientation pour répondre à la question.

[el niala]

j'aurais fait pareil, d'où une discussion sur a avec le numérateur, puisque le dénominateur commun se factorise en (x-1)(x+1)(x²+x+1)
et sauf erreur a=3/2 donne une limite finie

[frolonais]

je trouve x^3-ax^2-a-1 au numérateur et c'est ca qui me bloque !
comment trouves tu ca au dénominateur ? x^2-1=(x-1)(x+1) je suis ok mais le x²+x+1 je ne vois pas ...
en tout cas d'après mon tableau de signe je trouve un dénominateur positif.

[el niala]

x^3-1 s'annule pour x=1 tu peux donc factoriser par (x-1) (démarche classique)

d'où x^3-1=(x-1)(x²+x+1)

ça simplifie le numérateur qui se retrouve n'être qu'un polynôme du second degré

[Le_chat]

Sans ça tu peux écrire que au voisinage de 1:

1/(x^2-1)=1/2(x-1)+1/4+o(1) et 1/(x^3-1)=1/3(x-1)+1/3+o(1) ( c'est un dl en 1)


Et ça te permet de conclure directement.

[frolonais]

je ne pense pas avoir le droit d'utiliser un DL pour cet exercice.
On m'indique en effet dans l'énoncé de discuter autour de la valeur de a=3/2.
Je trouve le signe pour a<3/2 et a>3/2. Maintenant mon problème est de calculer la limite de la fonction en 1 quand a=3/2...

[el niala]

je ne pense pas avoir le droit d'utiliser un DL pour cet exercice.
On m'indique en effet dans l'énoncé de discuter autour de la valeur de a=3/2.
Je trouve le signe pour a3/2. Maintenant mon problème est de calculer la limite de la fonction en 1 quand a=3/2...

quand a=3/2, tu peux factoriser au numérateur par (x-1) qui se simplifie avec le (x-1) du dénominateur, le résultat (fini) vient directement

[Le_chat]

je ne pense pas avoir le droit d'utiliser un DL pour cet exercice.

Si c'est un sujet des mines, je pense qu'aux concours c'est effectivement la méthode attendue.

[el niala]

Si c'est un sujet des mines, je pense qu'aux concours c'est effectivement la méthode attendue.

pas sûr, ce sont à l'évidence les "petites" Mines

[frolonais]

c'est l'écrit du concours de technicien supérieur de l'industrie et des mines.
Le concours d'ingénieur ne comprend pas d'écrit mais uniquement un dossier puis un oral.

j'ai trouvé 1/4 comme limite en 1 pour a=3/2.
par contre mon souci est la rédaction de la réponse pour a>3/2 et a<3/2. Dans ma tête, je vois la démarche mais j'ai du mal à écrire quelque chose de rigoureux.
Pouvez-vous me conseiller sur la rédaction des résultats ?

[Le_chat]

pas sûr, ce sont à l'évidence les "petites" Mines

Ah d'accord, pardon alors.

[el niala]

Ah d'accord, pardon alors.

de rien, ce n'était pas non plus les "petites" Mines !

[el niala]

c'est l'écrit du concours de technicien supérieur de l'industrie et des mines.
Le concours d'ingénieur ne comprend pas d'écrit mais uniquement un dossier puis un oral.

j'ai trouvé 1/4 comme limite en 1 pour a=3/2.
par contre mon souci est la rédaction de la réponse pour a>3/2 et a<3/2. Dans ma tête, je vois la démarche mais j'ai du mal à écrire quelque chose de rigoureux.
Pouvez-vous me conseiller sur la rédaction des résultats ?

fais un tableau de signe, tout simplement

[frolonais]

en fait je suis empêtré ! je n'arrive pas à déterminer le signe du numérateur ! j'ai x²+x+1-ax-a et de là je n'avance plus ! par contre je trouve bien un dénominateur positif pour tout x ...

[el niala]

OK pour l'expression, discute l'existence de racines et le signe du polynôme suivant les valeurs de a

d'où discriminant, que va trouver négatif pour a dans ]-3,+1[ et donc le polynôme toujours positif dans ce cas, puis les cas triviaux a=-3 et +1 qui vont aussi te donner le polynôme positif pour tout x

je te laisse trouver la position de +1 par rapport aux racines dans les autres cas pour déterminer le signe du polynôme dans V(1)