Bah, la récurrence du raisonnement du manuel est une récurrence simple.
On montre par récurrence (simple, j'insiste) sur l'entier
que si
)
sont racines distinctes de
, alors
\cdots(X-a_k))
divise
.
Il y a une initialisation (le thèorème 5) puis une hérédité où on utilise de nouveau le théorème 5.
est racine de
parce que ça fait partie des hypothèses. Relis l'énoncé !
On aurait pu aussi raisonner ainsi :
On veut montrer, pour tout entier
, la propriété
)
: "Pour tout polynôme
, si
sont des racines distinctes de
, alors
\cdots(X-a_r))
divise
."
)
est le théorème 5.
Supposons
)
vraie. Soient
des racines distinctes de
. D'après le théorème 5, il existe un polynôme
tel que
Q)
. Pour
on a
=(a_i-a_{k+1})Q(a_i))
d'où
=0)
puisque
. Donc
sont des racines distinctes de
et par l'hypothèse de récurrence
\cdot(X-a_k))
divise
. On en déduit que
\cdots(X_a_{k+1}))
divise
, ce qui montre
)
.
On a ainsi montré
pour tout entier
.
