Composition de DL

[kerst]

bonjour,

Je dois calculer le DL de f(x)=sin(x^2) en passant par le développement limité de g(y)=sin(y).

Est-ce qu'il faut utiliser la composition de DL? J'ai du mal à comprendre la méthode.

[pascal16]

sin(x) =x + polynome avec des puissancesimpaies

comme sin x commence par x, il fait gagner un ordre

pour avoir de l'ordre 2, il suffit d'avoir sin(x) à l'ordre 1.

plus exactement, avec la notation o
sin(x) = x + o(x²)
sin(x)*sin(x)
= ( x + o(x²))*( x + o(x²))
= x²+ x .o(x²)+ x.o(x²)+ o(x²) .o(x²)
= x²+ o(x^3)+ o(x^3)+ o(x^4)
= x²+ o(x^3)+ o(x^4)
= x²+ o(x^3)

pour les ordre supérieurs, il faut bien faire attention à ne pas oublier de termes non négligeables.

réponse pour vérifier :
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Taylor(sin(x)*sin(x))

[kerst]

Il s'agit de non ?
Moi je cherche

[pascal16]

excuse.
pour l'ordre, c'est facile, on remplace x par x².
et un o(x^3) devient un o(x^2^3) = o(x^6)

pour le DL, c'est facile, on remplace x par x².

avec la bonne formule
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Taylor(sin(x)*sin(x))

[kerst]

c'est à dire que je fais le DL de sin(x) à l'ordre 3 et je remplace x par x^2 ?

[pascal16]

cf proposition 3.3.1, composition :

http://mickaelpechaud.free.fr/cours/DLs.pdf

On fait la composition des polynômes de chaque DL, que l'on tronque au bon endroit
La proposition ne tient pas compte du cas particulier dans lequel on est, ie, les deux premiers termes du DL de x² sont nuls, on gagne 2 rang. Et comme il n'y a qu'un seul terme dans x², on n'a pas à rassembler les termes de même puissance.

[kerst]

Désolé mais je comprends pas.

Si je fais le DL de sin(y) en 0 à l'ordre 3 j'ai :
sin(y)=y-y^3/3! + o(y^3)

Si je remplace y par x^2 j'obtiens sin(x^2)=x^2-x^6/3! + o(x^6)

Je n'arrive pas à comprendre pourquoi c'est juste car je crois que je n'ai pas compris comment faire la composition de DL.

[pascal16]

C'est tordu en effet dans le cas d'un monôme, ce n'est pas le cas habituel, c'est dommage, ce n'est pas un exemple formateur.
" le DL d'une composition de fonction est la composition de leur DL, limité au bon ordre"
fog = f(g) -> F(G) si F et G sont les polynomes des DL de f et g.
g est évalué au point donné du DL
f est évalué en g( point donné du DL)
ici, c'est 0 pour sin(x) et x², pas de problème

x²= 0 + 0x + 1x² + o(de ce que l'on veut)
donc en fait tous les termes qui habituellement apparaissent dans le composition de polynômes (on doit regrouper les termes de même puissance de x) sont absents ici.

tu peux dériver sin(x²) pour vérifier, la composition de fonction va donner un truc assez long, mais tous les termes qui ont x en facteur s'annule en x=0. Il ne reste que ceux du DL que tu donnes.

[kerst]

Ok je crois que j'ai compris effectivement ce n'est pas le meilleur exemple pour comprendre la composition ...