Composition de fonctions

[Dlzlogic]

Bonjour,
Soit un certain nombre de fonctions d'une seule variable continues, dérivables et monotones sur un intervalle.
Soit F une fonction qui est la composition de plusieurs de ces fonctions.
Je cherche à savoir si F est monotone, 3 réponses possibles
1- sûrement
2- peut et doit être vérifié
3- pas moyen de savoir.

Merci d'avance.

[Luc]

Salut,
pas besoin de supposer la continuité et la dérivabilité.

Je pense qu'on a le résultat suivant pour f et g deux fonctions d'une variable réelle. Je note F=fog.
- si f et g sont croissantes, F est croissante
- si f est croissante et g est décroissante, F est décroissante
- si f est décroissante et g est croissante, F est décroissante
- si f et g sont décroissantes, F est croissante.

La monotonie se comporte vis à vis de la composition comme le signe se comporte vis à vis de la multiplication: "moins par moins ça fait plus".

Les propriétés ci-dessus se généralisent aisément à la composée d'un nombre fini de fonctions.

Luc

[Dlzlogic]

Merci pour la réponse.
Concernant la continuité et la dérivabilité, c'était juste pour éviter la contradiction :zen:
Donc, si toutes les fonctions sont monotones, F est sûrement monotone ?
Je le conçois très bien si on a la forme F(x) = f(g(x))
Mais est-ce sûrement vrai avec une forme F(x) = f(x) + g(x) ou F(x) = f(x) * g(x)
Dans le premier cas F'(x) = f'(x) + g'x)
dans le second cas F'(x) = f(x) * g'(x) + f'(x) * g(x)
Il peut exister une valeur de x qui annule la dérivée de F, et celle-ci changera probablement de signe.
Oui-Non ?
Donc, pour être sûr, il faudrait s'assurer que F' ne s'annule pas dans l'intervalle ?
(Désolé, mais mes bases en math sont assez lointaines).

[acoustica]

Merci pour la réponse.
Concernant la continuité et la dérivabilité, c'était juste pour éviter la contradiction :zen:
Donc, si toutes les fonctions sont monotones, F est sûrement monotone ?
Je le conçois très bien si on a la forme F(x) = f(g(x))
Mais est-ce sûrement vrai avec une forme F(x) = f(x) + g(x) ou F(x) = f(x) * g(x)
Dans le premier cas F'(x) = f'(x) + g'x)
dans le second cas F'(x) = f(x) * g'(x) + f'(x) * g(x)
Il peut exister une valeur de x qui annule la dérivée de F, et celle-ci changera probablement de signe.
Oui-Non ?
Donc, pour être sûr, il faudrait s'assurer que F' ne s'annule pas dans l'intervalle ?
(Désolé, mais mes bases en math sont assez lointaines).

La multiplication de deux fonctions croissantes n'est pas forcément croissante. Ce n'est pas difficile de trouver un contre exemple si on cherche dans des fonctions qui prennent des valeurs négatives. Par exemple en prenant le produit de deux fonctions affines croissantes. Si par contre elles sont positives et monotones, leur multiplication l'est aussi.

Quant à la somme, oui ça marche aussi.

[Luc]

Merci pour la réponse.
Concernant la continuité et la dérivabilité, c'était juste pour éviter la contradiction :zen:

Il n'y a pas de contradiction. On peut définir la monotonie d'une fonction dans un cadre beaucoup plus général que les fonctions continues ou dérivables. En fait, on a juste besoin d'une relation d'ordre sur l'ensemble de départ et d'une relation d'ordre sur l'ensemble d'arrivée. Une fonction croissante d'un ensemble E dans un ensemble F est alors un "morphisme d'ensembles ordonnés", c'est à dire une fonction qui vérifie .
C'est cela la véritable définition d'une fonction croissante. La caractérisation par la dérivée positive n'est vraie que dans un cadre très particulier, et suppose beaucoup plus de structures (genre avoir défini ce qu'est une dérivée, donc la notion de limite, etc.)

[Luc]

La multiplication de deux fonctions croissantes n'est pas forcément croissante. Ce n'est pas difficile de trouver un contre exemple si on cherche dans des fonctions qui prennent des valeurs négatives. Par exemple en prenant le produit de deux fonctions affines croissantes. Si par contre elles sont positives et monotones, leur multiplication l'est aussi.

Quant à la somme, oui ça marche aussi.

Pour compléter la réponse : on peut voir ça comme la compatibilité (ou non) des opérations d'addition et de multiplication avec la relation d'ordre pour l'ensemble des nombres réels. L'addition est compatible avec . La multiplication par un nombre positif est compatible avec . Par contre, la multiplication par un nombre négatif n'est pas compatible avec .