Composition de fonction

[PetitCube]

Bonjours,
J'ai un dm a rendre en math et j'ai la question suivante : Soient E et F des ensembles f:E->F et g:F->E telles que f∘g∘f est bijective. Montre que f et g sont bijective.

Pour répondre a cette question j'ai fait ça :
Soit h: (E→E), (x⟼(g∘f)(x)), et j:(F→F)(x⟼(f∘g)(x))
Si (f∘h)(x) bijective. On peut dire f surjective et h injective
Donc f est surjective. Montrons maintenant que f est injective
Soit x et x' dans E et f(x)=f(x^'). Montrons que x=x'
Donc j(f(x))=j(f(x' )) donc (j∘f)(x)=(j∘f)(x' ). Et comme j∘f est bijective alors x=x'.
On a donc f surjective et injective. Donc f bijective

On a maintenant en plus f^(-1) bijective
Donc f^(-1)∘f∘g∘f=Id_F∘g∘f=g∘f bijective. Comme f est bijective et que g∘f est bijective. Alors forcement g est bijective.

Je ne sais pas si ce que j'ai fait est juste. pouvez vous me le dire ? et si ce n'est pas bon pouvez m'aider ?
Merci pour votre temps.

[Ben314]

Oui, c'est bon.
Pour montrer que f est injective, tu peut aussi dire que ça provient du fait que est bijective vu que tu as déjà utilisé ce résultat pour montrer que f est surjective.