Composition d'équivalents ?

[Menthix]

Bonjour,
au cours d'un exercice sur les séries on a été amené à trouver des équivalents de suites. Or je vois en reprenant ces exercices que l'on avait composé des équivalents. Je voulais savoir pour quelles raisons est-ce qu'on avait eu le droit de faire ça.
Voici les deux exercices :
https://image.noelshack.com/fichiers/20 ... 5013-1.jpg

PS:il est possible qu'il ne s'agisse pas de la correction de mon professeur mais bien de ma tentative de résolution de l'exercice, même si j'en doute).

PPS : je ne parviens pas à conclure sur la convergence de (n/n+1)^n² , par ailleurs je ne vois pas comment l'équivalence avec l'exponentielle peut aider (à condition encore que celle-ci soit juste).

[Ben314]

Salut,
Je suis pas certain d'avoir bien compris ton truc sur les "composition d'équivalent", mais tout ce que je peut te dire, c'est que le dernier "donc" de la feuille que tu donne est faux : le fait que Un soit équivalente à Vn (lorsque n->oo) n'implique évidement pas que exp(Un) est équivalent à exp(Vn).
Par exemple Un=n+racine(n) et Vn=n sont équivalentes alors que exp(Un) et exp(Vn) ne le sont pas du tout (le rapport entre les deux tend vers +oo).

De toute façon, le truc totalement clair, c'est que exp(Un) est équivalent à exp(Vn) ssi Un-Vn tend vers 0 (vu que exp(Un)/exp(Vn) = exp(Un-Vn) et il faut ABSOLUMENT savoir que Un équivalent à Vn, ben ça veut dire que Un/Vn tend vers 1 et que ça a pas de lien (*) avec le fait que Un-Vn tend vers 0.

(*) i.e. entre Un/Vn -> 1 et Un-Vn -> 0, il n'y a aucune implication, ni dans un sens, ni dans l'autre.

[pascal16]

Ben, perso, je ne le voit pas comme ça.
dans ton exemple, Un-Vn ne tend pas vers 0, on se perd dans ton explication.

On peut composer des équivalences.
Mais si Un est équivalent à Vn, en o(n)
exp(Un) ne sera équivalent qu'à un truc en o(exp(n)). Les polynômes ne sont pas la seul famille d'équivalents , là, on change de famille (d’ailleurs, ça ne nous dérage pas de passer en puissance multiples de 1/2 quand ça nous arrange).


(*) i.e. entre Un/Vn -> 1 et Un-Vn -> 0, il n'y a aucune implication, ni dans un sens, ni dans l'autre.
si pour n grand |Un| > M , avec M>0, on a bien un implication il me semble, cf la notion de direction asymptotique et droite asymptotique.