Composition alternative d'adhérence et d'intérieur

[capitaine nuggets]

Salut à tous, j'aurais besoin d'un coup de main pour l'exo suivant :

On se place sur un espace topologique et on considère les applications respectivement définies par (l'adhérence de l'intérieur) et (l'intérieur de l'adhérence).

1. Montrer que si , alors et .
2. Montrer que :
a) si est ouvert alors .
b) si est fermé alors .
(pas de soucis jusque là).
3. Dans les deux cas précédents, donner un exemple où il n'y a pas égalité.
(je ne vois pas).
4. Montrer que et sont idempotents. (je n'y arrive pas).

Merci d'avance pour votre aide :Lol3:

[Ben314]

Salut,
Concernant les contre exemple, vu que a(A) est fermé quelque soit A, il suffit de prendre A non fermé pour être sûr d'avoir . De même, si B est non ouvert tu es sûr que .

Concernant l'idempotence, on a :
- Comme est un ouvert contenu dans on a et donc .
- Comme est contenu dans le fermé on a

Je te laisse faire l'autre (quasi identique)

[capitaine nuggets]

Merci de ta réponse, j'ai réussi à montrer l'idempotence de et .
Par contre, pour les deux contre-exemples, j'avais compris ce qu'il fallait prendre. En fait, j'ai du mal à savoir quel genre d'exemple prendre... On peut prendre muni de sa topologie usuelle ou faut-il quand même rester assez original ?

5. Pour finir, on me demande ensuite de conclure sur le nombre d'ensembles différents que l'on peut obtenir au maximum parmi :

[CENTER]
[/CENTER]
Puis en donner un exemple où ce nombre est atteint.

Je ne sais pas trop comment faire là.
On sent bien que l'idempotence va jouer un rôle essentielle, mais je n'arrive pas à l'exploiter.

[zygomatique]

salut

si on note

alors a = v o u et b = u o v

alors à partir de A tu construis tous les ensembles que tu veux en composant a, b, u et v à A ... sauf que a, b, u et v sont idempotentes ....

donc ça va pas en faire beaucoup ....

[mathelot]

Merci de ta réponse, j'ai réussi à montrer l'idempotence de et .
Par contre, pour les deux contre-exemples, j'avais compris ce qu'il fallait prendre. En fait, j'ai du mal à savoir quel genre d'exemple prendre... On peut prendre muni de sa topologie usuelle ou faut-il quand même rester assez original ?

5. Pour finir, on me demande ensuite de conclure sur le nombre d'ensembles différents que l'on peut obtenir au maximum parmi :

[CENTER]
[/CENTER]
Puis en donner un exemple où ce nombre est atteint.

Je ne sais pas trop comment faire là.
On sent bien que l'idempotence va jouer un rôle essentielle, mais je n'arrive pas à l'exploiter.

il y a sûrement mieux

[Ben314]

et... y'a pas mieux..