Composée de fonctions

par **nox** » 21 Sep 2006, 13:03

donc ? on conclue quoi ? qu'il manque des hypotheses pour conclure ? ^^

par **alben** » 21 Sep 2006, 13:18

nox a écrit:wai mais chui en train de me demander si y a pas aussi de la bijectivité cachée

gof = x^3 est une bijection, donc f est une injection et g une surjection.
fog est une surjection donc f est une surjection donc f est une bijection.

donc pour l'instant on a g surjection donc pas de contradiction mais y a ptetre moyen de manipuler encore un peu

Ouais, c'est pas simple !
g est une surjection, f une injection. Comme fog a pour image R+ et g a pour image R entier, l'image de f est donc bien R+. Donc f restreint R->R+ est une bijection. OK
On doit pouvoir en déduire que g resteint R+ -->R est aussi une bijection
Mais ça ne suffit pas à prouver qu'elles ne peuvent pas exister

par **nox** » 21 Sep 2006, 13:21

waip je suis d'accord...mais le truc c'est que à la base on était parti pour travailler sur les variations et ca va tout seul...sauf que comme on l'a dit certaines fonctions ne sont ni croissantes ni décroissantes, mais le deviennent par composition.

Mais je me demande si ce cas n'est pas éliminé par le fait de faire de f une bijection.
Pas facile à montrer par contre

par **alben** » 21 Sep 2006, 13:27

En composant une fois de plus on a

Je ne sais pas si ça peut aider
On en tire g(y)=g(-y)

par **nox** » 21 Sep 2006, 13:34

euh...un truc con :
f : R->R
g : R->R
Donc fog et gof R->R
Or fog est à valeurs dans R+ uniquement...impossible non ?
ca ressemble au truc de xon...y'avait pas un contre argument contre ca ? jcommence à m'embrouiller un peu...

par **alben** » 21 Sep 2006, 13:44

Non c'est parfaitement possible :
f envoie R dans R+ bijection type x->exp(x)
g envoie R+ dans R tout entier et symétriquement pour R- type ln(|x|)

par **Flodelarab** » 21 Sep 2006, 13:45

nox a écrit:voila ce qui me démange :

Oui g fait un sale copier/coller de mauvais aloi

par **yos** » 21 Sep 2006, 13:47

Maitreidmry a écrit:Bonjour,

Existe-t-il des fonctions f : R => R et g : R => R vérifiant :

fog = x² et gof=x^3

Merci

Cela entrainerait f(x^3)=f(x)^2 (en calculant fogof(x) de deux façons).
Et de même g(x^2)=g(x)^3.
...

par **nox** » 21 Sep 2006, 13:52

alben a écrit:Non c'est parfaitement possible :
f envoie R dans R+ bijection type x->exp(x)
g envoie R+ dans R tout entier et symétriquement pour R- type ln(|x|)

wai mais on impose f et g de R dans R

yos a écrit:Cela entrainerait f(x^3)=f(x)^2 (en calculant fogof(x) de deux façons).
Et de même g(x^2)=g(x)^3.
...

comme l'a dit alben...mais où est la contradiction ? à part qu'on arrive de nouveau à la contradiction sur les ensembles donc on se ramene en fait à ce que j'ai dit au dessus non?

par **alben** » 21 Sep 2006, 13:54

nox a écrit:wai mais on impose f et g de R dans R

et alors, les deux fonctions que j'ai pris en exemple sont bien de R dans R

par **Flodelarab** » 21 Sep 2006, 13:54

qqun aurait t il un exemple de bijection qui ne soit pas la composition de bijections ?

par **alben** » 21 Sep 2006, 13:56

yos a écrit:Cela entrainerait f(x^3)=f(x)^2 (en calculant fogof(x) de deux façons).
Et de même g(x^2)=g(x)^3.
...

Oui mais en quoi c'est impossible ?

par **nox** » 21 Sep 2006, 13:57

alben a écrit:et alors, les deux fonctions que j'ai pris en exemple sont bien de R dans R

Ca dépend si par "dans" on entend "ensemble image". C'est comme ça que je l'ai compris...sinon évidemment je suis d'accord.
Mais donc on n'a toujours pas de raisonnement valide ?

Flodelarab wai si on montre que fog bijective entraine f et g bijective ca marche mais on l'a pas.
fog bijective ca entraine g injective et f surjective je crois que c'est tout...donc on doit pouvoir trouver un contre exemple

EDIT : confirmation si on prend tout simplement la fonction carré et la fonction racine. Composée bijective si je ne m'abuse mais fonctions respectivement surjective et injective

par **alben** » 21 Sep 2006, 14:03

Flodelarab a écrit:qqun aurait t il un exemple de bijection qui ne soit pas la composition de bijections ?

Voir post 44

par **nox** » 21 Sep 2006, 14:04

ou post 51 ^^

Bon eh bien le mystere demeure

par **Flodelarab** » 21 Sep 2006, 14:47

Et pkoi pas essayer un truc comme ça ?

gof donne:

gof donne:

Or g est définie sur R donc L,L' ne peuvent etre des limites finies. Car si c t le cas, g ne serait pas définie sur R.

Comme f(x) est positif, L=L'=

Euhhhhh...
ben oui mais

aurait 2 valeurs possibles alors ????

par **nox** » 21 Sep 2006, 14:53

perso j'ai rien suivi...comment tu vas chercher la limite finie en - l infini pour f ??

par **Flodelarab** » 21 Sep 2006, 14:59

nox a écrit:perso j'ai rien suivi...comment tu vas chercher la limite finie en - l infini pour f ??

L n'est pas fini. C'est une limite quelconque.

Mais ce qui est plus grave, c le fait que je ne sais pas si le fait que fog et gof convergent impliquent une convergence de ses composantes.

par **nox** » 21 Sep 2006, 15:00

ba non si tu prends g qui tend vers - infini et exponentiel pour f ...

par **Flodelarab** » 21 Sep 2006, 15:07

nox a écrit:ba non si tu prends g qui tend vers - infini et exponentiel pour f ...

t en plein dans mon exemple favorable.
f est une exponentielle donc tend vers 0.
si g tend vers l'infini en 0 alors...

Ouai non c nul.
ça montre une discontinuité mais pas une non définition

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