Composantes connexes !

par **barbu23** » 16 Déc 2009, 13:10

Bonjour à tous :
Je voudrais savoir pourquoi :
Un espace ayant un nombre fini de composantes connexes est ouvert.
Merci d'avance ! :)

par **Ben314** » 16 Déc 2009, 13:12

Ca dépent dans quoi.
Si c'est dans lui même, il peut bien avoir what mille composantes connexes, il est ouvert dans lui même (ça fait parti des axiomes d'une topologie !!!)

P.S. : la question interessante est de savoir si les composantes connexes sont ouvertes ou pas.
Pour y répondre rappelle toi (ou démontre) que si une partie A est connexe alors son adhérence l'est aussi....

par **barbu23** » 16 Déc 2009, 13:24

Oui, Ben, je connais ce resultat : Si

est connexe, toute partie

telle que

est connexe, donc

est aussi connexe .
Mais, je ne vois pas encore pourquoi une composante connexe est ouvert ou fermé ! si ma memoire est bonne, il faut que la composante connexe soit placé dans un ouvert ! Je me rappelle plus !

Merci d'avance !

par **barbu23** » 16 Déc 2009, 13:34

Ben une composante connexe

est fermé car

! mais nous on cherchez qu'elle est ouverte ! :hum:

par **barbu23** » 16 Déc 2009, 13:43

Oui, mais angelique je comprends pas ce que celà a à avoir avec la question initiale qu'il faut établir :
Un espace ayant un nombre fini de composantes connexes est ouvert.
:hein:

par **Ben314** » 16 Déc 2009, 13:54

Je te rapelle (pour la deuxième fois) que se poser la question de savoir si l'espace tout entier est (ou n'est pas) ouvert est... complètement couillon : il l'est forçément (par définition) !!!
Et ceci quelque soit tout ce que tu veux....

P.S. : peut tu me rappeller quels sont les axiomes d'une topologie ?

par **barbu23** » 16 Déc 2009, 13:55

Ah d'accord Angelique ! donc la reunion finie de ces c.c. est aussi fermée, ce qui veut dire que le complementaire qui est la composante connexe de depart est ouverte, donc toutes les composantes connexes sont ouverts ! ( donc leur reunion finie est aussi ouvert ) ! mais celà ne veut pas dire que l'ensemble tout entier

est ouvert ! :hein:
Merci d'avance ! :happy3:

par **barbu23** » 16 Déc 2009, 13:57

Ben, je suis perdu, je comprends rien de ce que tu dis ! :hum: :we:

par **Ben314** » 16 Déc 2009, 14:01

Chapitre 0 de topologie :
Se donner une topologie sur X, c'est se donner un ensemble de parties de X (que l'on appelle les ouverts de X) tel que :
1) l'ensemble vide est ouvert
2) toute réunion....
.
.
.

Qu'y a t'il dans la liste ?

par **barbu23** » 16 Déc 2009, 14:03

Non, je remplace le mot espace par le mot "partie" d'un espace ayant un nombre fini de c.c. ! est ce que celà reste valable ? :happy3:
Est ce que cette "partie" est ouverte ? :happy3:

par **Ben314** » 16 Déc 2009, 14:05

Ici, la question semble vaguement interessante, mais en fait elle ne l'est pas :
Ta partie Y est
1) Evidement ouverte et fermée dans Y !!!
2) Evidement quelconque dans X

Exemple :combien ]0,1[ a t'il de composantes connexes (vu comme partie de R) ? et [0,1] ? et [0,1[ ?

par **barbu23** » 16 Déc 2009, 14:05

Ben314 a écrit:Chapitre 0 de topologie :
Se donner une topologie sur X, c'est se donner un ensemble de parties de X (que l'on appelle les ouverts de X) tel que :
1) l'ensemble vide est ouvert
2) toute réunion....
.
.
.

Qu'y a t'il dans la liste ?

Oui Ben, je sais ça, la reunion est aussi ouverte, mais je ne pense pas que les auteurs du livre soit stupide de poser une telle idée !
si on remplace le mot espace par le mot "partie" d'un espace ayant un nombre fini de c.c. ! est ce que celà reste valable ?
Est ce que cette "partie" est ouverte ? : :happy2:
Merci d'avance ! :happy2:

par **barbu23** » 16 Déc 2009, 14:09

Exemple :combien ]0,1[ a t'il de composantes connexes (vu comme partie de R) ? et ]0,1[ ?
ben une seule c.c. ! :hein:

par **Ben314** » 16 Déc 2009, 14:09

A mon avis LA question interessante est :
J'ai un espace topo X.
Je considère les composante connexe de X.
Je considère une partie Y qui est la réunion d'un nombre fini de composante connexe de X.
La partie Y est-elle un ouvert de X ?

Pour y répondre, je pense qu'il suffit d'utiliser ce qu'angélique (et moi) t'avons suggéré...

P.S. : en (re)regardant la question que je vient de poser, j'arrive pas à y répondre façilement....

P.S.2 : si, j'y répond façilement : c'est Faux : prendre X=Q...
Donc je ne vois à priori aucune question "intelligente" qui ressemble à la tienne.... :triste:

par **barbu23** » 16 Déc 2009, 14:19

:zen: :stupid_in

par **Nightmare** » 16 Déc 2009, 14:47

On peut éventuellement se poser la question dans l'autre sens : Si X est réunion d'ouverts (ou réunion finie de fermés) connexes, ces derniers sont-ils forcément des composantes connexes?

La réponse est trivialement oui, mais la question n'est pas inintéressante

par **Ben314** » 16 Déc 2009, 14:48

barbu23 a écrit::zen: :stupid_in

Ca, ça fait longtemps qu'on le sait.... :zen:

En y repensant, la seule question intelligente est "est-ce que les composantes connexes sont ouvertes" en angélique t'a rapellé la preuve.
Tu as tiré ton exo d'où ?

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