Composantes connexes

[acoustica]

Ce que tu avais écrit avant est une petite bêtise oui, car tu ne sais pas à priori si tu vas t'approcher assez à chaque fois.
Je m'explique : si d(A, "ensemble des matrices non inversibles") = m, alors tu sais que ton voisinage autour de A pourra être une boule de rayon m.
Si tu prends un nouvel élément A' de cette boule, que connais tu de d(A',"ensemble des matrices non inversibles") ? Pas grand chose. Et si ca valait m/2, et que pour la suivante m/4 etc, on devrait avoir d(A,B) 0 à l'aide des valeurs propres

Ok, je vois, c'est même une erreur grossière... On va essayer avec ta méthode. =)

Par contre, comment montres-tu que det(f(t)A+g(t)In) > 0 à l'aide des valeurs propres ?

[Matt_01]

Ok, je vois, c'est même une erreur grossière... On va essayer avec ta méthode. =)

Par contre, comment montres-tu que det(f(t)A+g(t)In) > 0 à l'aide des valeurs propres ?

Tu peux connaître facilement les vap de uA+vIn en fonction de celles de A.
Et le det en fonction des vap
Edit : Attention, j'ai dit "on peut s'assurer" dans le sens "on peut s'arranger", c'est faux en général.

[acoustica]

Tu peux connaître facilement les vap de uA+vIn en fonction de celles de A.
Et le det en fonction des vap
Edit : Attention, j'ai dit "on peut s'assurer" dans le sens "on peut s'arranger", c'est faux en général.

C'est là que ça coince, pourquoi on peut connaître facilement ces valeurs propres ?

[Doraki]

Pourquoi ne pas chercher un chemin du type f(t)A+g(t)In ?
Sachant qu'on peut facilement s'assurer que det(f(t)A+g(t)In) > 0 à l'aide des valeurs propres

Tu veux dire, on voit facilement les g(t)/f(t) pour lesquels le déterminant est nul ?

[Matt_01]

J'ai encore une fois parlé trop vite ... On pourrait passer de M à In de cette manière si les vap de M étaient toutes positives (les vap complexes ne posent pas de pb).

[barbu23]

Merci beaucoup à vous tous pour toutes ces précisions.
Sur un autre site web ( et sans démonstration ), toute partie à la fois : fermée, ouverte et connexe est une composante connexe.
Est ce que vous pouvez me donner la démonstration de cette proposition ?
Merci d'avance. :happy3:

[acoustica]

Merci beaucoup à vous tous pour toutes ces précisions.
Sur un autre site web ( et sans démonstration ), toute partie à la fois : fermée, ouverte et connexe est une composante connexe.
Est ce que vous pouvez me donner la démonstration de cette proposition ?
Merci d'avance. :happy3:

C'est la définition des composantes connexes non ?

[Matt_01]

Avec la première idée que j'avais eu (qui s'est avérée fausse), on peut relier toute matrice à la matrice diagonale des signes de ses vaps (en considérant par exemple 1 pour les complexes).
Maintenant, on sait que si le det est positif, alors il y a un nombre pair de négatifs, et donc on peut écrire la matrice obtenue sous forme de bloc de I2 ou -I2.
Le tout est alors de montrer qu'on peut passer de -I2 à I2.
J'ai pas fait les calculs mais il doit exister une fonction f continue qui va de [0,1] dans GL2(R) tq f(t)=P(t)M(t)P-1(t)
avec P continue et M la matrice diago de vap exp(itpi) et exp(-itpi) (de telle sorte que f(0) = I2 et f(1) = -I2)

[kissifrot]

Bonjour,

Il me semble avoir fait un truc semblable à la face cette année. Pour trouver un chemin, on peut considérer le segment donné par puis voir que l'application est polynomiale en t et n'admet qu'un nombre fini de zéros. Il ne reste plus qu'à les contourner.

[wserdx]

J'ai trouvé un cours sur le sujet.
algèbre

[Doraki]

Merci beaucoup à vous tous pour toutes ces précisions.
Sur un autre site web ( et sans démonstration ), toute partie à la fois : fermée, ouverte et connexe est une composante connexe.
Est ce que vous pouvez me donner la démonstration de cette proposition ?
Merci d'avance. :happy3:

Si A est ouverte fermée est connexe, alors elle est connexe, et si B contient strictement A, alors A est fermé et ouverte dans B, donc B n'est pas connexe. Donc A est maximal parmi les parties connexes, donc c'est une composante connexe. Pour la réciproque je sais pas.

Bonjour,

Il me semble avoir fait un truc semblable à la face cette année. Pour trouver un chemin, on peut considérer le segment donné par puis voir que l'application est polynomiale en t et n'admet qu'un nombre fini de zéros. Il ne reste plus qu'à les contourner.

Bonne remarque mais on travaille dans R.

Avec la première idée que j'avais eu (qui s'est avérée fausse), on peut relier toute matrice à la matrice diagonale des signes de ses vaps (en considérant par exemple 1 pour les complexes).

Ouais faudrait préciser

J'ai pas fait les calculs mais il doit exister une fonction f continue qui va de [0,1] dans GL2(R) tq f(t)=P(t)M(t)P-1(t)
avec P continue et M la matrice diago de vap exp(itpi) et exp(-itpi) (de telle sorte que f(0) = I2 et f(1) = -I2)

Les rotations quoi ?

Moi je suis pour reprendre la citation qui parlait de décomposer une matrice en un produit de transvections élémentaires, puis de faire un chemin entre l'identité et chaque transvection.

[barbu23]

Pour la réciproque je sais pas.

Non, pour la réciproque, ça marche pas en général, d'après ce qu'on m'a dit. :hum:
Merci en tous cas. :lol3:

J'ai trouvé un cours sur le sujet.
algèbre

Merci, c'est très interessant ton lien. :lol3:
Malheureusement, il n'y'a pas les corrigés pour les exercices de ton fichier. :hum:

[wserdx]

Je pense que le lien que j'ai donné est un plan de cours pour l'agreg. Donc il ne contient pas vraiment d'exercice.
Il faut retenir que les transvections et les dilatations engendrent . Il y a une démonstration dans le livre de Perrin. J'en ai trouvé une autre
ici.
Les transvections sont connexes par arc :
si est une transvection
est un arc de transvections reliant à
Les dilatations (de même signe) sont aussi connexes par arc.
Pour l'homéomorphisme de à , il suffit de changer le signe d'une ligne (ou d'une colonne).