Complexes et trigo

[aqwxsz]

Bonjour, j'ai un exo en maths et je bloque dessus:


On se donne un réel x non congru à 0 modulo 2pi, un réel t et un entier n>0:
Simplifier:

somme de k=0 à n-1 de sin(kx+t) et

somme de k=0 à n de (k parmi n)*cos(kx+t)

j'ai essayé les formules trigo mais je bloque...

Merci.

[Carpate]

Bonjour, j'ai un exo en maths et je bloque dessus:


On se donne un réel x non congru à 0 modulo 2pi, un réel t et un entier n>0:
Simplifier:

somme de k=0 à n-1 de sin(kx+t) et

somme de k=0 à n de (k parmi n)*cos(kx+t)

j'ai essayé les formules trigo mais je bloque...

Merci.

[aymanemaysae]

On a sum(k=0 à n-1){exp(i(kx+t))} = exp(it) sum(k=0 à n-1){exp (ikx))
=exp(it) ((exp(inx)-1)/(exp(ix)-1))
=exp(it) exp(i(n-1)x/2) ((exp(inx/2)-(exp-(inx/2))/(exp(ix/2)-exp(-ix/2)))
=exp(it) exp(i(n-1)x/2) sin(nx/2)/sin(x/2)
=exp(i((n-1)x/2+t)) sin(nx/2)/sin(x/2)
=cos((n-1)x/2+t) sin(nx/2)/sin(x/2) + i sin((n-1)x/2+t) sin(nx/2)/sin(x/2)

donc sum(k=0 à n-1){cos(kx+t)}=Re(sum(k=0 à n-1){exp(i(kx+t))})
=cos((n-1)x/2+t) sin(nx/2)/sin(x/2)
et sum(k=0 à n-1){sin(kx+t)}=Im(sum(k=0 à n-1){exp(i(kx+t))})
=sin((n-1)x/2+t) sin(nx/2)/sin(x/2).

[Robot]

Tu récidives. Extrait de la charte :

Lorsqu'un correcteur donne ipso facto la réponse complète à un élève sans que celui-ci n'ait fourni un effort de recherche ou ne paraisse complètement perdu, il est convenu que le modérateur le prévienne par message privé de son comportement contraire à la charte. Au delà de 3 manquements à la charte, le correcteur peut alors se voir sanctionner sous la forme d'une exclusion temporaire de 15 jours ou définitive si le correcteur ne modifie toujours pas son comportement.