Complexes

par **quink** » 09 Sep 2007, 13:03

Bonjour à tous !

j'ai un petit probleme avec un exo sur les complexes :

énoncé:

On considère les 3 points M(z), M'(2z-z²), A(1).
Déterminer l'ensemble des points M' lorsque M décrit l'axe des réels.

Soit z=x+iy alors ici z=x et M'(2x-x²) donc M' décrit aussi l'axe des réels.

Déterminer l'ensemble des points M' lorsque M décrit l'axe des imùaginaires.

Soit z=x+iy alors ici z=iy et M'(2iy+y²) donc .... bah je sais pas trop ....

Pouvez vous m'aider svp

Merci

par **emdro** » 09 Sep 2007, 13:18

Bonjour,

quink a écrit:On considère les 3 points M(z), M'(2z-z²), A(1).
Déterminer l'ensemble des points M' lorsque M décrit l'axe des réels.

Soit z=x+iy alors ici z=x et M'(2x-x²) donc M' décrit aussi l'axe des réels.

Non une partie seulement, car 2x-x² ne peut pas être égal à n'importe quel réel (étudie la fonction).

quink a écrit:Déterminer l'ensemble des points M' lorsque M décrit l'axe des imaginaires.

Soit z=x+iy alors ici z=iy et M'(2iy+y²) donc ....

Donc on reste sur la courbe vérifiant X=t² et Y=2t. (en posant t=y). c'est à dire X=Y²/4. C'est une parabole de sommet 0 et d'axe (OX).

par **quink** » 09 Sep 2007, 13:42

OK pour la premiere partie

Pour la 2nd, je ne comprends pas pourquoi on cherche X en fonction de Y et pas l'inverse ...

parce que Y = 2 rac X

par **emdro** » 09 Sep 2007, 14:09

quink a écrit:parce que Y = 2 rac X

Eh non justement!

Y = 2 rac X ou Y = -2 rac X. Et comme c'est pénible, on préfère souvent faire comme moi...

par **quink** » 09 Sep 2007, 14:28

ok merci mais pourrait - on dire que M' d'écrit la droite d'équation Y=+ ou - 2rac X ?

mais l'exo ce poursuit ...

On suppose maintenant que z=e^i(theta) . Prouver que AM = MM' ...

par **quink** » 09 Sep 2007, 15:05

j'ai montrer que AM=MM' mais je n'arrive pas a montrer que vecteur( AM') = k.vecteur ( OM) .

par **emdro** » 09 Sep 2007, 15:09

quink a écrit:ok merci mais pourrait - on dire que M' d'écrit la droite d'équation Y=+ ou - 2rac X ?

Ce ne sont pas franchement des droites, mais deux morceaux de parabole, qui, réunis, reconstituent la parabole, dont je te parlais au début.

par **emdro** » 09 Sep 2007, 15:12

quink a écrit:j'ai montrer que AM=MM' mais je n'arrive pas a montrer que vecteur( AM') = k.vecteur ( OM) .

vecteur( AM') = k.vecteur ( OM)
affixe de vecteur( AM') = k.affixe de vecteur ( OM)
zM'-zA=k(zM-0)

Essaie peut-être de montrer que (zM'-zA)/zM est un réel.

par **emdro** » 09 Sep 2007, 15:23

Cela te donne:

Tu remplaces z par sa forme exponentielle, et, ... astuce,

tu penses que

par **quink** » 09 Sep 2007, 15:36

je trouve k = 4sin²(theta / 2) R

En déduire une construstion géométrique simple de M' à partir de M ( on introduira la tangente en M au cercle trigo )

par **emdro** » 09 Sep 2007, 15:44

quink a écrit:je trouve k = 4sin²(theta / 2) R

Oui

NB retiens l'astuce, on s'en sert souvent.

quink a écrit:En déduire une construstion géométrique simple de M' à partir de M ( on introduira la tangente en M au cercle trigo )

Peut-être serait-il malin de simplifier sin²(theta / 2) . Tu sais que cos(2X)=1-2sin²(X)...

par **quink** » 09 Sep 2007, 18:26

j'ai linéarisé car je ne connait pas la formule que tu me donne

je trouve :

-4sin²(théta/2) = 2(cos théta - 1)

mais je ne vois toujours pas de construction ...

par **emdro** » 09 Sep 2007, 19:06

Tu ne connais pas les formules de duplication cos(2X)= ... et sin(2X)=... ? Ce sont les plus importantes à mon avis! A apprendre!

Je n'ai pas fait ton problème, mais cela m'étonnerait que tu n'arrives pas à tracer cos (théta) dans ton cercle trigo. Ensuite, tu retire un 1 en enlevant un rayon du cercle trigo. Tu reportes pour multiplier par 2, et c'est réglé... Une fois que tu auras k, tu auras M'.

Il y a peut-être une astuce en utilisant la tangente comme on te le suggère...

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