Complexes, géométrie

[Tetdoss]

Salut à tous, je galère depuis plus d'une heure sur une question :/ Je fais donc appel à vous

M1(z1) M2(z2) distincts d'images par f : M'1(z'1) M'2(z'2) et tels que O(2,0) n'appartienne pas à (M1M2)

Après avoir démontré que

(f(z) - z'1) / (f(z) - z'2) = (z2 - 2)(z - z1) / (z1 - 2)(z-z2)

Je dois en déduire que f((M1M2)) est un cercle passant par O privé de O...

Ce que j'ai repéré c'est que si (z2 - 2)(z - z1) / (z1 - 2)(z-z2) appartient à R, alors les points M, M1, M2 et O sont cocycliques

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Bon j'ai déjà fait pas mal de questions avant je vous donne donc en plus d'autres infos qui me paraissent utiles :

f(z) = (2z - 29)/(z -2)

f est une involution

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Merci d'avance :) Si vous avez des questions n'hésitez pas

[Tetdoss]

J'ai une nouvelle piste, M1M2 c'est en fait tous les points M entre M1 et M2 donc angle (MM1, MM2) = 0 [Pi] <=> arg( (z-z1)/(z-z2) ) est un réel, si on remplace M M1 et M2 par M' M1' et M2' on obtient la première expression et donc ce qui est à droite de l'égalité est un réel aussi et on a cyclicité. Sachant que c'est une involution je pense que c'est fini

EDIT petite erreur, On a angle (MM1, MM2) = Pi [2Pi] car on parle d'un segment et non pas d'une droite mais ca change pas le reste de la démo sauf que l'arg doit etre un réel négatif

[Doraki]

L'image du segment [M1M2] est l'arc de cercle entre M'1 et M'2 ne passant pas par O, tandis que le reste de la droite (M1M2) est envoyé sur l'arc de cercle qui passe par O.

Donc quand ils parlent de f((M1M2)) c'est bien de la droite dont il s'agit, et les équivalences
O,M',M'1,M'2 sont cocyliques et M'<>O <=> tel complexe est réel ou M=M2 <=> M est sur la droite (M1M2) sont justes.
(le signe du réel donne sur quel arc de cercle on est / dit si M est dans le segment ou pas)

[Tetdoss]

Oula effectivement j'ai fait une confusion entre segment et droite !
Merci beaucoup Doraki :)