Complexes et Applications

[Laura91]

Bonjour !

Je suis en première année de prépa BCPST et j'ai un devoir de maths sur les complexes et les applications. Je suis malheureusement vite bloquée.
J'espère que vous pourrez m'aider sur un des deux exercices.

Les complexes (je pense avoir réussi les deux premières questions, c'est la 3ème que je n'arrive pas à résoudre)

Soit § (un angle) appartient à ]0,pi[

1°) Résoudre dans C l'équation :

z² - 2 z cos(§) + 1 = 0

2°) Soit n appartient à N*. Résoudre dans C l'équation Z^n = 1

3°) Soit n appatient à N*. Montrer que l'équation suivante admet 2n solutions distinctes que l'on déterminera :

z ^ 2n - 2 z^n cos(§) + 1 = 0


Les applications

On pose P = {z appartient à C : Im z > 0} et
D = {z appartient à C : |z| < 1}

1°) Pour z appartient à C privé de {-i}, on pose f(z) = (z-i)/(z+i)
(a) Montrer que f définit une application de P dans D
(b) Montrer que f est une bijection de P dans D


Si vous voulez plus de clairté dans les symboles mathématiques vous pouvez voir le sujet sur

http://cagrafeuil.googlepages.com/DL3ch4-5.pdf

Merci beaucoup !

Laura

[mathelot]

Je suis en première année de prépa BCPST

:++:


Le changement d'inconnue Z=z^n
ramène à une équation du second degré,d'inconnue Z, de racines Z1 et Z2.

Si de plus Z1 et Z2 sont écrites sous forme trigo,
les équations d'inconnue z,

et

se résolvent.



2) la fonction homographique z'=f(z)
s'inverse en calculant z en fonction g de z'.

reste à vérifier les domaines et codomaines (ensembles d'arrivée) pour les fonctions f et g.

[Laura91]

Merci pour ta réponse !

Pour la première question de l'exercice sur les complexes, j'ai cherché le discriminant : 4(cos(§)-1)

Je trouve que ce discriminant est toujours strictement négatif car § est compris entre 0 et pi.

Donc que l'équation n'admet pas de solutions... Mais ça n'a pas l'air d'être ça.

Avec ton aide je trouve que r2 + (1/r2) = 2 cos (§) mais je n'arrive pas à résoudre ça.

Sinon pour la 2ème question j'ai trouvé que l'ensemble des solutions est :
e^(2 k pi / n) mais je ne suis pas passée par la racine nième.
Si ce résultat est faux, peux-tu m'en dire plus sur la racine nième car je n'ai pas mon cours avec moi et je ne m'en rappelle plus... :briques:

En ce qui concerne les applications, la théorie ne me suffit pas pour réussir à trouver cette question :triste:

Merci encore !

[mathelot]

1)
utilise le discriminant réduit. c un carré parfait.




Les racines s'écrivent sous forme trigo , de manière évidente.

[Laura91]

Merci pour vos deux réponses ! ça devient tout de suite beaucoup plus clair :id:

Je réfléchis à tout ça et j'essaye d'avancer mais je sens que je vais vite revenir à la rescousse...

[mathelot]

mais je sens que je vais vite revenir à la rescousse...

c'est plutôt nous qui allons venir à la rescousse. :zen:

[Laura91]

Effectivement... :ptdr:

[Laura91]

J'ai terminé l'exercice sur les complexes, merci encore.

Par contre, les applications... Je ne comprends pas vraiment vos explications.

Pour la question 1) (b) j'ai essayé une méthode que j'ai vue en cours :

Pour tout Z appartient à P, cherchons à quelle condition sur P l'équation Z = f(z) a une unique solution sur P (avec z privé de {-i} )

Z = f(z) Z(z+i) = (z-i)
z = -i(Z+1) / (Z-1)

Il reste maintenant à vérifier que -i(Z+1)/(Z-1) appartient à P... Je bloque ici et pour la suite.

[mathelot]

J'ai terminé l'exercice sur les complexes, merci encore.

:++: :++:


pour le (2):

on dispose de deux applications réciproques (on dit aussi inverses)
l'une de l'autre:






il s'agit de montrer que f envoie P sur D
et g envoie D sur P.

On démontre ceçi en traduisant l'appartenance
par sa propriété caractéristique
êt on doit obtenir |z'| < 1.

[mathelot]

re,


ssi



Cette dernière inégalité signifie que, dans le plan, M(z) est plus proche du point A(i) que du point B(-i). Or la médiatrice du segment [AB] est précisemment l'axe x'ox.

Comme il y a équivalence,ca démontre que f envoie P sur D et g envoie D sur P.

[Laura91]

Merci pour tous les efforts que tu fais pour moi... mais je ne comprends pas :cry: :triste: :cry: :triste:

C'est surement du au fait que je n'ai pas très bien compris mon cours sur les applications...

[mathelot]

Merci pour tous les efforts que tu fais pour moi... mais je ne comprends pas :triste: :triste:

Soit a et b deux nombres complexes, M(a) et N(b) deux points du plan d'affixe
a et b.
Connais -tu l'ensemble M des points du plan, d'affixe z, vérifiant:
|z-a|=|z-b| ?

[selma123]

[FONT=Palatino Linotype]salut
tu peux touver tt ce que tu veux pour les nombre complexe ici [/FONT] http://homeomath.imingo.net/complexe.htm
:zen: :hein:

[mathelot]

[quote="mathelot"]
f(z) , ce qui équivaut à z g(z')

Pour tout couple (z,z') du graphe de f , les propriétés suivantes sont équivalentes:
|z'|=|f(z)| 0.