Complexe

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Bonjour à tous,

Je suis en 1ere année de licence de physique-chimie, mais ça n'empêche pas que j'ai encore des cours de maths à un niveau plus ou moins élevé...
Mon premier cours porte sur les complexes, et j'ai des exercices à faire et à rendre sous forme de devoir.
Mais, ça fait un bon moment que je n'ai pas travaillé sur des problèmes de maths et je suis un peu rouillé, et donc, j'aimerais un peu d'aide pour pouvoir un peu me débloquer, s'il vous plait.
J'ai un niveau moyen en maths, ni trop faible, ni trop fort.

Exercice 1:

Soit pour z appartenant a C(ensemble imaginaire), Z=(z+1)/(z-2i)

1) Déterminer l'ensemble des nombes complexes z tels que Z soit un réel. Représenter l'ensemble trouvé dans le plan complexe.
2) Déterminer l'ensemble des nombes complexes z tels que Z soit un imaginaire pur. Représenter l'ensemble trouvé dans le plan complexe.


Exercice 2:

On cherche à savoir où se situent les solutions de l'équation:
(z-(1+i))^3 = 16(1-i).

a) Calculer les racines cubique du nombre complexe 16(1-i) (sous forme trigonométrique).
b) Pour tout réel ;), on pose Z;) = 1+i+2;)2e(i;))
Déterminer l'ensemble des points M;) d'affixe Z;) quand ;) décrit [0;2;)[.
c) En déduire, le lieu des solutions de l'équation initiale.



Voila, je met quand même ce que j'ai fait pour certaines questions, mais je ne suis pas sûr de ce que je met.


Pour l'exercice 1:

1) J'ai mis : On pose z=x+iy et Z=x'+iy'.
Je trouve : x'=(x(x+y+1)-2y)/(x²+(y-2)²)
et y'=(2x-y+2)/(x²+(y-2)²).

Ensuite, pour déterminer l'ensemble des nombes complexes z tels que Z soit un réel.
Ca veut dire que y'=0, mais là je bloque un peu, parce que je n'arrive pas trop à arranger l'écriture de x'.

Pour l'exercice 2:

Je n'ai pas réussi grand chose.
Pour calculer les racines cubique du nombre complexe 16(1-i).
Je pensais à isoler z, pour avoir une équation du type z^n=;)(alpha).
Mais j'arrive pas à isoler z.

Et pour le reste de l'exercice, je n'ai pas encore trouvé comment faire.

Voila, c'est tout. Si je pouvais avoir un peu d'aide pour me débloquer, s'il vous plait. Ca serait super.

PS: désolé aussi pour les caractères spéciaux qui ne sont pas super bien représenter...

Merci pour tout. ++

[klevia]

Salut, pour la 1) tu devrais poser
A(-1) et B(2i)
Soit M(z)
Arg ( ) = 0 mod

M appartient à la droite (AB)

[busard_des_roseaux]

Bonjour à tous,
Exercice 2:

On cherche à savoir où se situent les solutions de l'équation:
(z-(1+i))^3 = 16(1-i).

a) Calculer les racines cubique du nombre complexe 16(1-i) (sous forme trigonométrique).
b) Pour tout réel , on pose Z;) = 1+i+2;)2e(i;))
Déterminer l'ensemble des points M;) d'affixe Z;) quand décrit [0;2;)[.
c) En déduire, le lieu des solutions de l'équation initiale.

écrire 16(1-i) sous forme trigo:
module=
argument =
l'écrire sous la forme du cube de z0
les racines sont ensuite

[xyz1975]

Salut, pour la 1) tu devrais poser
A(-1) et B(2i)
Soit M(z)
Arg ( ) = 0 mod

M appartient à la droite (AB)

ou Arg ( ) = 0 mod
z=-1 ou
M appartient à la droite (AB) privée du point B.

[xyz1975]

Pour l'exercice 1:
1) J'ai mis : On pose z=x+iy et Z=x'+iy'.
Je trouve : x'=(x(x+y+1)-2y)/(x²+(y-2)²)
et y'=(2x-y+2)/(x²+(y-2)²).

Ensuite, pour déterminer l'ensemble des nombes complexes z tels que Z soit un réel.
Ca veut dire que y'=0, mais là je bloque un peu, parce que je n'arrive pas trop à arranger l'écriture de x'.

Oui c'est bien ça sauf que y'=0 équivaut à 2x-y+2=0 et (x;y) différent de (0;2) ce qui donne la droite (AB) privée du point B mais à votre niveau on évite ce type de calcul on procède comme l'avait fait Klevia (avec les angles orientés et arguments.

mais là je bloque un peu, parce que je n'arrive pas trop à arranger l'écriture de x'

Je pense que vous avez fait une erreur de calcul, ce que je trouve : x'=x²+y²-2y+x=(x+1/2)²+(y-1)²-5/4 c'est bien un cercle.
Il vaut mieux utiliser les angles orientés.

Pour l'exo 2 : Chercher les racines cubiques d'un nombre complexe a revient à résoudre l'équation z^3=a, équation qui necessite d'écrire a et z sous forme trigonométrique pour pouvoir appliquer la formule de Moivre :
Posons alors z=[r;@] (forme polaire : r c'est le module et @ c'est bien theta : un argument)
Comme a=16(1-i) alors a=[16 racine(2); -pi/4]
z^3=[r^3;3@] or on asit que deux complexes sont égaux si et seulement si les modules sont égaux et les arguments sont égaux MODULO 2pi (attention à ne pas oublier de rajouter 2kpi, k relatif)
donc r^3=16racine(2) et 3@=-pi/4+2kpi, k relatif
Calculez r et @=-pi/12+(2kpi)/3.
Pour trouver les 3 racines il faut remplacer k par 3 valeurs consecutives relatives (exemple -1, 0, 1)
Remarque : ce n'est pas une régle générale mais assurez nous un 2kpi au numérateur je vous donne le nombre de racines c'est bien le dénominateur en général)

[klevia]

Toutes mes excuses pour l'oubli de point B ...

[xyz1975]

On oublie tous, l'erreur est humaine, vous avez comme même fait le gros travail.

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Merci à tous pour vos réponses très rapide.

Oui xyz1975, j'ai dû me tromper parce que je trouvais bizarre de ne pas tombé ni sur une équation de droite, ni sur une équation d'un cercle...

Avec toutes ces données, je vais revoir les exercices en détails, et je vais vous donner des nouvelles au plus tot, si je bloque encore sur quelques truc.

Merci encore. :we:

J'ai juste une dernière question à poser. En fait, je fais mes études par correspondances cette année, en attendant de rejoindre une fac plus tard.
Dans tout le cours que le prof a fourni. Il dit que toutes les démonstrations des différentes prorpiétées sont laissé à notre initiative.

Il y a des choses que j'arrive à redémontrer sans problème, mais je peine sur d'autre chose. Comme par exemple redémontrer la formule de Moivre.

Est ce qu'a mon niveau, je dois savoir redémontrer ce genre de fromule?
Je précise que je suis en 1ere année de license physique-chimie...

Voila, merci beaucoup, +++

[busard_des_roseaux]

bjr,
résolvons l'équation

Mq que:
est le cube de
on pose:



d'où le résultat.

si z est solution:

alors

est une racine cubique de l'unité. Celles-ci
sont connues, ont même un nom:

d'où 3 solutions de l'eq:



bien sûr:

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Merci, je viens de tout comprendre.

Par contre je comprends pas trop le passage de 16;)2 = (2;)2)^3...
Même ma calculatrice arrive a reduire l'éciture de la racine cubique de 16;)2, mais je n'y arrive pas du tout...


Pour l'exercice 1, partie 2:

J'ai trouvé un cercle de centre I(-1/2;1) et de rayon (;)5)/2.

[xyz1975]

Par contre je comprends pas trop le passage de 16;)2 = (2;)2)^3...
Même ma calculatrice arrive a reduire l'éciture de la racine cubique de 16;)2, mais je n'y arrive pas du tout...

2^3=8 et (;)2)^3=2;)2 donc c'est bien ça.

Pour l'exercice 1, partie 2:
J'ai trouvé un cercle de centre I(-1/2;1) et de rayon (;)5)/2.

Oui c'est bien ça.

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Voila, je pense avoir tout saisi, et je continue le reste d'un exercice.

C'est :
L'exercice 1:

b) Pour tout réel ;), on pose Z;) = 1+i+2;)2e(i;))

Déterminer l'ensemble des points M;) d'affixe Z;) quand ;) décrit [0;2;)[.

c) En déduire, le lieu des solutions de l'équation initiale.


Ce que j'ai fait:

Z est l'affixe de M
Z;) est l'affixe de M;)
w est l'affixe de I

Si pour tout réel ;), on pose Z;) = 1+i+2;)2e(i;))

Alors, la tansformation est un cercle de centre I et de rayon r, tel que M;) appartient au cercle C. Z;) = w+ r.e(i;)(théta))
=> r = 2;)2, et w = 1+i.

IM;) = IM et (vecteur(IM);vecteur(IM;))) = ;)

==> Z;)-w = Z-w


Je bloque un peu, parce que je ne sais pas si ce que je fais est bon, ou que mes hypothèses sont fausses...

Pouvez m'aider un peu s'il vous plait?

[busard_des_roseaux]

On cherche à savoir où se situent les solutions de l'équation:
(z-(1+i))^3 = 16(1-i).
b) Pour tout réel , on pose Z;) = 1+i+2;)2e(i;))
Déterminer l'ensemble des points M;) d'affixe Z;) quand décrit [0;2;)[.
c) En déduire, le lieu des solutions de l'équation initiale.

est une paramétrisation du cercle de centre A(1+i), de rayon

Les trois solutions sont déterminées par leurs angles polaires
modulo

Ce n'est pas tous les jours que l'on voit un physicien sur un forum de maths !
pourrais-tu m'éclairer sur le point suivant:
- pourquoi la constante n'est pas affectée par l'expansion éventuelle de l'Univers ? je me suis souvent demandé si c'était une constante
mathématique ou une constante physique.

cordialement,

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Merci pour la réponse.

Par contre désolé, je ne sais pas ce qu'est l'expansion éventuelle de l'Univers...

Mais en ce qui concerne pi, c'est a la fois une constance physique et mathématiques. Mais, je dirais plus mathématiques parce que la physique utilise les maths, qui par les maths on a trouvé Pi...

Autrement, c'est plus ou moins étonnant de trouver un physicien sur un forum de maths, parce qu'en physique, quand on fait surtout des études avec les lois de newtons, ou autres types d'opérations, ou quand on étudit les mouvements de certains systèmes(projection d'une balle, etc...)
On en vient souvent à utiliser les répères euclidiens ou non, et aussi appliqué un repère au système étudié, ce qui devient assez lourd. Ainsi que tout ce qui est complexe, logarythme et exponentielle, dérivée, dérivée partielle, dérivée seconde, intégrale et primitive, etc...

Enfin bref, si on fait des études supérieur en physique-chimie, il faut avoir + ou - un assez bon niveau en maths.