Complexe

[iéna]

Bonjours,
j'ai besoin d'aide pour un exercice:

1) justifier que l'équation z^4+z^3+z²+z+1=0 (E1) z²+z+1+1/z +1/z²=0 (E2)
Ca j'ai fait.

2) Résoudre (E2) en faisant le changement de variable x=1+1/z

je l'ai fait donc comme équation j'ai trouvé x²+x-1=0
donc les solution sont x1=(-1+ racine(5))/2 et x2=(-1- racine(5))/2

ça donne donc z1+1/z1=(-1+ racine(5))/2 ça me donne une nouvelle équation du secon degré: 2(z1)²+(1-racine(5))z1+2=0

Et comme solution je trouve z1=[racine(5)-1+(i)racine(10+2racine(5))]/4
et z1'=[racine(5)-1-(i)racine(10+2racine(5))]/4

Je fais pareil pour z2 et je trouve comme solution [-1-racine(5)-1+(i)racine(10-2racine(5))]/4 et [-1-racine(5)-1-(i)racine(10-2racine(5))]/4

c'est des résultats super tordu donc je sais pas si c'est juste mais j'a beau chercher je trouve pas l'erreur.


3) montrer que z^4+z^3+z²+z+1=0 => z^5=1 et en déduire les solution de (E1) sous forme trigonométrique.
là je bloque complètement.


j'espère que vous pourrez m'aider.
merci d'avance.

[fahr451]

bonjour


je n'ai pas v érifié tes calculs mais je ne vois rien d aberrant ni de tordu


pour la dernière question

que vaut pour z différent de 1

1+ z + z^2 + z^3 +z^4 ?

[iéna]

mais c'est z qui doit être égal à 1 alors pas z^5

[fahr451]

bonjour


je n'ai pas v érifié tes calculs mais je ne vois rien d aberrant ni de tordu


pour la dernière question

que vaut pour z différent de 1

1+ z + z^2 + z^3 +z^4 ?

j'ai écrit z différent de 1 et non égal à 1 me semble- til

(somme géométrique...)

[iéna]

(E1) = somme (de k=0 à 4) z^k
et alors ça m'aide en quoi?