Complexe

[alvinlaf]

Bonjour, je suis bloqué a cet exercice (ci-dessous) a la question "Existe-t-il z ∈ C tel que f(z) = 0 ?" du b).
Pour la b) j'ai commencer par :
f(z)=e^2αe^−iβ
=e^2α (cosβ+isinβ) avec e^2α ∈ lR
on a w=x+iy
=e^iθ
ou =r(cosθ+isinθ) (r: module)
Donc f(z)=w <=> e^2α= r et β=θ avec e^2α, β ∈ lR
Il y a une infinité de solution pour α et β.
Est-ce bon et si oui comment répondre donc a la dernière question du b), et a la d) ?


"On définit l’application
f : C −→ C
α + iβ → e^2αe^−iβ (où α et β sont réels).

a) Montrer que pour tout z, w dans C, on a f(z + w) = f(z)f(w).

b) Soit w ∈ C non nul. Montrer qu’il existe z ∈ C tel que f(z) = w. Ce z est-il unique ?
Existe-t-il z ∈ C tel que f(z) = 0 ?

c) En déduire que f n’est pas une bijection de C dans C. Puis, sans justifier, donner un sous ensemble E de C tel que f réalise une bijection de E dans C∗.

d) Résoudre dans C l’équation f(z) = f(¯z). (¯z = z barre)"

[jsvdb]

Bonjour alvinlaf.
Une exponentielle n'est jamais nulle, même en complexe.

[vladi]

bonjour

je sais bien qu'il y a des conventions mais franchement tout est rendu plus facile quand on met des parenthèses

ça rend la lecture plus claire et qu'est-ce que ça coute d'écrire a^(bc) plutôt que d'écrire a^bc pour dire ?

[vladi]

NB

et si on veut dire sans latex on peut tout à fait écrire a^(b) c

qu'est ce que ça coute de placer des parenthèses?

[alvinlaf]

Bonjour alvinlaf.
Une exponentielle n'est jamais nulle, même en complexe.

La prof m'a dis qu'en faisant cela c'était partiellement juste, j'avais fais :
e^x>0 donc f(z)≠0