Complexe

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forza
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par forza » 29 Sep 2006, 16:23

Voila l'exercice : Soient a,b qui appartiennent a l'ensemble des complexe et |a|=|b|=1 et a different de b, montrer que pour tout z qui appartient a C :


(z+ab(z barre) -a-b)/ a-b appartient a iR

Voila donc l'exo !

Voila ce que j'ai commencer a faire
j'ai dit que z = x + iy
a= b+ ic
b= d + ie

Je me suis perdu dans les calculs .....

Apres j'ai essayer de montrer que z = - z(barre ) ce qui montrerais que z appartient a iR mais je sais pas trop comment partir ....

En fait ce qui me pose probleme c'est la a et b, je le remplace par quoi
j'ai essayer de dire que comme |a|=|b|=1 on peut dire
b²+c² = 1 mais je ne vois pas a quoi ca peut m'avancer .....

Je continue a chercher ........



yos
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par yos » 29 Sep 2006, 16:27

forza a écrit:Apres j'ai essayer de montrer que z = - z(barre ) ce qui montrerais que z appartient a iR mais je sais pas trop comment partir ....


C'est la bonne méthode.
Utilise le fait que et pareil avec b.

forza
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par forza » 29 Sep 2006, 17:12

en faisant ta technique donc en mettant des barres partout donc
Z remplacé par Z barre
et Z barre remplacé par Z ( car Z barre barre = Z )
et a barre = 1 / a

j'arrive a cela ......


(ab(Z barre) +z -b-a) / b-a

je vois que maintenant c'est plus a -b mais b-a
mais apres je vois pas quoi faire ....

Imod
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par Imod » 29 Sep 2006, 17:12

En notant Z ton expression :

et la propriété est évidente .

Imod

forza
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par forza » 29 Sep 2006, 17:18

j'ai pas compris !!!

ton Z C z barre car moi c'est une erreur de frappe ......

et tu part du debut de l'exo ou de l'endroit ou j'en suis arrivé ?

moi |a-b|z(barre) = (a-b)((a-b)barre)
c'est donc egale a a(abarre) + a(b(barre)) - a(barre)b -b(b(barre)) ( en developpant )

forza
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par forza » 29 Sep 2006, 17:19

forza a écrit:j'ai pas compris !!!

qui est grand Z ( c'est le Z barre ) car moi c'est une erreur de frappe ....
.. et tu part du debut de l'exo ou de l'endroit ou j'en suis arrivé ?

Je vois pas comment tu peut arriver a ton egalité

Imod
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par Imod » 29 Sep 2006, 17:22

Je pars du début et je multiplie le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée : .

Imod

forza
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par forza » 29 Sep 2006, 17:33

en multipliant par le conjugué je trouve pas comme toi

l'expression devient (abarre -bbarre)z + (bz(barre) -b(barre)z) + (ab(barre) -a(barre)b) / (a-b)(abarre -bbarre )

donc en gros ya que la fin que je trouve comme toi, plus j'essaye moins je comprend le but de l'exo car z est ds l'expression, c'est pas z = qqch c'est z = truc doit appartenir a iR ........

forza
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par forza » 29 Sep 2006, 17:34

Imod a écrit:En notant Z ton expression :

et la propriété est évidente .

Imod



je pense pas que ton Z tu peut faire ca enfin si mais c'est le petit z qui nous interesse apres plein de calcul j'arrive enfin a ton expression et je vois pas comment dire que z = -z ( barre ) enfin bon je cherche je cherche

je vois vraiment pas .....

Imod
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par Imod » 29 Sep 2006, 17:39

Z=(z+ab(z barre) -a-b)/ a-b .

Imod

forza
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par forza » 29 Sep 2006, 17:43

je vois pas ou tu veux en venir pr montrer l'egalité z = -z(barre) ......
J'ai du mal a suivre ton raisonnement ...

Merci d'avance

forza
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par forza » 29 Sep 2006, 17:50

en remplacant z par - Z barre dans lton expression trouvé ou tu me dit que la propriété est evidente ....

JE Trouve |a-b|²Z = (-az (tout les deux barres) + az ) + (bz(tout les deux barres) -bz ) .....

il n'y a pas egalité ?

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par Imod » 29 Sep 2006, 17:53

Qu'elle est l'expression conjuguée de ?

Imod

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par forza » 29 Sep 2006, 17:58

euh ....... l'expression conjugué c'est - ton expression ( car tu rajoute des barres a tout le monde )
donc l'egalité est demontrer je crois
enfin bon

il y a le |a-b|²Z qui me derange enfin bon le conjugué est le meme .....

C cela ?

Imod
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par Imod » 29 Sep 2006, 18:06

Je détaille un peu :

.

.

Imod

forza
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par forza » 29 Sep 2006, 18:08

ok oula j'ai bien galéré ..... ca ma pris du tps mais le plus important c'est que j'ai compris le truc et j'avais pas penser a multiplier par cela ! Ds la sem je pensais plutot a mettre au carré ! merci bcp Imod !!!! ;-)

yos
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par yos » 29 Sep 2006, 21:20

J'avais fait ceci :


Ensuite on remplace et par 1/a et 1/b et on multiplie numérateur et dénominateur par ab.

Imod
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par Imod » 29 Sep 2006, 23:22

C'est une possibilité mais , sous son apparente simplicité , bien plus tordue que la solution "naturelle" que j'ai proposé .

Imod

yos
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par yos » 30 Sep 2006, 07:49

Imod a écrit:C'est une possibilité mais , sous son apparente simplicité , bien plus tordue que la solution "naturelle" que j'ai proposé .

Imod

héhé...
Elle a au moins le mérite de t'agacer.
Je n'ai pas lu ta solution écologique, mais je peux affirmer que l'égalité conjugué=inverse pour les complexes de module 1 est incontournable pour des tas d'exercices.

Imod
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par Imod » 30 Sep 2006, 11:03

Oui yos , à la réflection ta méthode n'est pas aussi artificielle que cela . Mon idée était de simplifier l'écriture de Z mais si l'objectif est uniquement de prouver que ta méthode est plus simple .

Imod ( pas agacé pour deux sous ) :ptdr:

 

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