Comparaison de Normes

par **daisuke** » 28 Jan 2007, 21:20

Bonjour j'ai un petit problème avec un exercice concernant sur les normes en voici le texte:

Soit E=C1 ([-1;1],)
N1(f)=sup|f| en [-1;1] et N2(f)=sup |f'|+|f(0)| en [-1;1]

Mon but est de les comparer mais je ne sais pas comment m'y prendre
Merci d'avance pour vos indications et vos aides

par **tize** » 28 Jan 2007, 21:36

Bonsoir,
l'IAF donne

...

par **fahr451** » 28 Jan 2007, 21:36

bonsoir

d'une façon générale on "contrôle" la fonction grâce à la dérivée

( TAF ou relation fondamentale du calcul intégral) l 'inverse est faux
on s 'attend donc à ce que N 2 contrôle N 1 ( N1 =< a N2) mais pas l 'inverse

par **fahr451** » 28 Jan 2007, 21:40

arg tize pour une poignée de secondes :)

par **daisuke** » 28 Jan 2007, 22:06

désolé je n'ai pas vraiment compris

pourrais je avoir de plus amples explications? merci

par **fahr451** » 28 Jan 2007, 22:10

f (x) = f (0 ) + intégrale de 0 à x de f ' ( t) dt

en valeur absolue
(pour x>0)
l f(x)l =< l f(0) l + intégrale de 0 à x de l f ' (t) l dt =< l f(0) l +intégrale de 0 à x de sup l f ' l = l f(0) l + x sup l f'l =< l f(0) l + supl f ' l = N2(f)

idem avec x négatif

d'où en passant au sup sur x N 1 (f) =< N 2 (f)

par **BQss** » 29 Jan 2007, 15:48

une autre version avec l'iaf proposée par tize:

sur

donc:

et avec:

on a:

finalement

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