Compacité des espaces métriques
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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Murene
par Murene » 26 Juil 2017, 17:30
Toujours au sujet du
poly de Nier, ma bible du moment, depuis qq temps déjà, et plus spéciquement
ce passage, que j'ai un peu de mal à suivre. Déjà, pourquoi "x appartient à A", et non pas l'adhérence de A?
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NicoTial
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par NicoTial » 26 Juil 2017, 17:39
Car A est une partie compacte. Donc, si je reprends la définition : Toute suite de points de A admet une valeur d'adhérence dans A. Donc x appartient bien à A.
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Murene
par Murene » 29 Juil 2017, 23:41
Valeur d'adhérence c une caractériaation de existence point d'accumulation, autrement dit, ce que l'on doit montrer. Bref, pas convaincu par la réponse.
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Pseuda
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par Pseuda » 30 Juil 2017, 09:39
Bonjour,
Je vais essayer de rassembler mes souvenirs. A est compact, donc pour toute partie
, on a :
?
La suite devient évidente : les ensembles fermés
sont donc inclus dans A. D'après 3.1.3, la suite décroissante des fermés non vides est non vide, et comme ils sont tous inclus dans A, cette intersection est incluse dans A. Donc il existe
dans cette intersection qui
.
Sans garantie.
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arnaud32
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par arnaud32 » 01 Aoû 2017, 15:13
A etant compact il est ferme et donc egal a son adherence
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Murene
par Murene » 02 Aoû 2017, 16:49
Merci aux intervenants.
Pseuda: « A est compact, donc ...». Pourriez vous élaborer sur le "donc"?
Arnaud32:
La propriété 3.3.1 dit "Dans un espace topologique *séparé*, toute partie compacte est fermée" (et donc égale à son adhérence).
2 choses qui m'embêtent avec votre réponse:
1/ Cette propriété venant après le point qui fait l'objet de ma question, 3.2.1, si le poly est correctement structuré (ce dont je ne doute pas), elle ne devrait pas intervenir dans sa preuve
2/ 3.2.1 est certes formulé pour un espace métrique (X,d), donc séparé. Toutefois, la Remarque 3.2.4 dit que pour i)=>ii), qui est bien le sous-point qui fait l'objet de ma question, « on n'a pas besoin d'un espace métrique ».
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Pseuda
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par Pseuda » 02 Aoû 2017, 22:39
Murene a écrit:Pseuda: « A est compact, donc ...». Pourriez vous élaborer sur le "donc"?
A est compact, donc A est fermé. Mais en effet, ça ne va pas, car cette propriété arrive après, en 3.3.1.
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samoufar
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par samoufar » 03 Aoû 2017, 00:38
Bonsoir,
Normalement, le "... de fermés non vides du compact A" une ligne au-dessus aurait déjà dû te perturber
Cependant, ici on considère l'adhérence dans A et non pas dans l'espace de départ. Autrement dit, on regarde pour chaque n le plus petit fermé
de A contenant
(qui existe car A est fermé dans A). Dès lors,
est automatiquement inclus dans A.
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Murene
par Murene » 22 Aoû 2017, 21:25
Je vais réfléchir à la réponse de @samoufar. Faut déjà que je me remémore la question... En attendant, s'il voulait expliciter "...aurait dû te perturber".
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samoufar
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par samoufar » 25 Aoû 2017, 00:46
Les
sont inclus dans
, c'est pourquoi
(par théorème puisque A est compact). C'est pourquoi je dis que ça devrait te perturber, puisque la question devient "pourquoi a-t-on cette inclusion ?" La réponse se trouve dans mon post précédent
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Murene
par Murene » 01 Sep 2017, 21:13
@samoufar. Effectivement, toute la subtilité est dans "dans A" de "valeur d'adhérence de X_n dans A", qui ne peut être que dans A... C un début pour comprendre cette preuve assez subtile.
En tout cas, merci!
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